Задача 1: Пусть n и m — натуральные числа. Найти все решения уравнения n! + 1 = (m! – 1)², где n! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Задача 2: На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что каждая из этих точек делит соответствующую сторону в отношении 1:1991 (считая от вершины A). В каком отношении точка пересечения отрезков CM и BM делит каждый из этих отрезков?

Задача 3: Двое по очереди снимают со стола фишки. За один раз разрешается снять со стола 1, 10 или 11 фишек. Выигрывает тот, кто снимет со стола последнюю фишку. Перед началом игры на столе было 40 фишек. Кто выиграет при правильной игре – начинающий игру или его партнёр?

Задача 4: Для каких натуральных чисел n число n² + 5 делится на число n + 5?

Задача 5: Через концы диаметра AB окружности проведем две прямые: через точку A проведем касательную l, а через точку B — секущую m. Пусть P — вторая точка пересечения секущей m с окружностью. Проведем через точку P касатальную n и обозначим через M и N точки пересечения прямой l с прямыми m и n соответственно. Доказать, что треугольник MNP — равнобедренный.

Задача 6: На доске написано 1991 натуральное число, каждое из которых не превосходит 1991. Если a и b — какие-то два из этих чисел и a ≥ b, то разрешается вместо числа a написать число a – b. С новым набором чисел можно выполнить эту же операцию и т.д. а) Доказать, что через не более чем 2 • 1990 шагов можно добиться того, чтобы среди написанных на доске чисел 1990 чисел были нулями. б) Доказать, что вначале могут быть написаны такие числа, что будет невозможно получить 1990 нулей раньше, чем через 2 • 1990 шагов.