Задача 1: Доказать, что один рубль невозможно разменять на 25 монет по 3 и 5 копеек.

Задача 2: Есть 6 полок шириной 1 метр. Можно ли на них расставить 150 книг, из которых

a) 51 толщиной 6 см, остальные – по 3 см.

b) 50 – по 6 см, остальные – по 3 см.

c) 49 – по 6 см, остальные – по 3 см.

Задача 3: Можно ли в клетках таблицы 5 × 6 (5 сток, 6 столбцов) расставить числа от 1 до 30 так, чтобы суммы чисел во всех a) строках b) столбцах были равны?

Решение: а) Да, b) Нет. Сумма чисел от 1 до 30 не делится на 6

Задача 4: Можно ли числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых одно число равно сумме остальных?

Решение: Нет. Сумма всех чисел нечётна.

Задача 5: Доказать,что 5 рублей не размениваются на 20 монет по 5, 20 и 50 копеек.

Решение: Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 6: Доказать, что любую сумму, большую 7 копеек, можно выдать монетами по 3 и 5 копеек.

Задача 7: Существуют ли три натуральных числа с попарными суммами a) 6, 7, 8 b) 7,8,9?.

Задача 8: Можно ли числа от 1 до 32 разбить на группы с одинаковыми произведениями?

Решение: Нет. Только в одной группе произведение может делиться на 29

Задача 9: В таблице A × B расставлены числа, в любом столбце и в любой строчке сумма равна 1. Доказать, что A = B.

Задача 10: Можно ли 6 прутьев по одному метру разрезать на 10 кусков по 27 см, 16 прутьев по 15 см и 15 прутьев по 6 см.

Задача 11: Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора чисел от 1 до 28 так, что сумма любых двух выбранных кратна 8?

Задача 12: В стопку сложено несколько одинаковых треугольников, на каждом из которых у вершин написаны числа 1, 2, 3 (треугольники можно поворачивать, но нельзя переворачивать). Оказалось, что у каждого вертикального ребра стопки сумма чисел равна N.

a) Может ли N быть равно 55? b) 50? c) Чему может быть равно N?

Решение: с) С любым числом кратным шести.

Задача 13: В вершинах 10-угольника в произвольном порядке расставлены числа от 1 до 10. На каждой стороне написали сумму чисел в ее концах. Доказать, что какие-то две из этих сумм оканчиваются на одну и ту же цифру цифру.

Решение: Сумма всех чисел на сторонах равна 90, а сумма десяти различных цифр оканчивается на 5.

Задача 14: Есть 120 блоков по 7т и 80 блоков по 9т. Какое минимальное количество 40-тонных грузовиков необходимо, чтобы их увезти?

Задача 15: Можно ли числа

a) от 1 до 12

b) от 1 до 13

c) от 1 до 14 разбить на три группы с равными суммами?

a) Да; b) Нет; c) Да.

Задача 16: Произведение любых трех из 1990 чисел больше 1. Доказать, что произведение всех чисел тоже больше 1.

Задача 17: Доказать, что из любых a) трех b) пяти c) девяти последовательных натуральных чисел найдется число, взаимно простое с остальными.

Решение: c) Есть нечётное число, не делящееся на 3, 5, 7.

Задача 18: Есть семь натуральных чисел, сумма любых шести из которых кратна пяти. Доказать, что все числа кратны пяти.

Решение: Докажите сначала, что сумма всех чисел кратна пяти.

Задача 19: Можно ли числа от 1 до 9 разбить на 3 группы так, чтобы произведение в каждой было a) не больше 70 b) не меньше 72?

Решение: Нет. 9! = 70 • 72 • 72, что больше 70³ и меньше 72³.

Задача 20: В таблице 10 × 10 расставлены числа от 1 до 100. Доказать, что найдутся две соседние (через сторону) клетки, разность чисел в которых больше 5.

Решение: Кратчайший путь от 1 до 100 занимает не больше 18 шагов. Если бы на каждом шагу число в клетке изменялось не больше чем на 5, то в итоге оно не могло бы измениться больше чем на 90

Задача 21: Доказать, что, имея гири с весами 1,2,3,4, … ,2^k – 1, можно набрать любой целый вес от 1 до 2^k – 1.

Задача 22: По окружности стоят 20 целых чисел с суммой 1. Чему равно число цепочек подряд стоящих чисел с положительной суммой?

Решение: Половине числа всех цепочекю

Задача 23: По окружности стоят 25 целых чисел, каждое из которых равно модулю разности своих соседей. Доказать, что все числа равны нулю.

Задача 24: В таблице 10 × 11 (10 строк, 11 столбцов) стоят нули и единицы. Доказать, что можно вычеркнуть несколько (от нуля до десяти) столбцов так, что сумма чисел в любой строке станет четной.

Задача 25: В таблице m × n расставлены вещественные числа. Сумма чисел в каждой строке равна 1, сумма в каждом столбце – 2. Доказать, что mn не равно 1990.

Задача 26: Можно ли миллион рублей разменять на 500000 бумажек по 1, 10, 100, 1000 рублей.

Решение: Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 27: Каждое число в таблице равно произведению суммы чисел своей строки и суммы чисел своего столбца. Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна 0 или 1.

Решение: Сложите данное тождество для всех чисел одной строки.

Задача 28: Имеется 99 одинаковых правильных 101-угольников, у вершин каждого из которых написаны числа от 1 до 101 (по часовой стрелке). Можно ли из этих 101-угольников сложить стопку так, чтобы суммы чисел у вертикальных ребер стопки были одинаковы.

a)101-угольники нельзя переворачивать.

b)101-угольники можно переворачивать.