Задача 1: Известно, что 3a + 7b делится на 19. Доказать, что 41a + 83b тоже делится на 19.

Задача 2: Может ли произведение цифр натурального числа равняться 1980?

Задача 3: Доказать,что дробь несократима.

Задача 4: a и b – натуральные числа, такие, что 34a = 43b. Доказать, что a + b – составное число.

Задача 5: Существует ли натуральные a,b, такие, что ab(a + b) = 15015?

Задача 6: Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел быть равно 11880 ?

Задача 7: a) На сколько нулей оканчивается 100!?

b) Четна или нечетна последняя ненулевая цифра 100!?

Задача 8: Найти минимальное n, такое, что n! делится на 1080.

Задача 9: Существуют ли 13 натуральных чисел с суммой 1990 и произведением 198919891989?

Задача 10: a + b делится на k, ab делится на k. Доказать, что

a) a² + b² делится на k

b) a³ + b³ делится на k².

Задача 11: Доказать, что нет целых a,b,c,d,e, таких что ab = bc = cd = de = ea = 30.

Задача 12: Доказать, что число делителей n нечетно тогда и только тогда, когда n – точный квадрат.

Задача 13: Доказать, что простых чисел бесконечно много.

Задача 14: Доказать, что среди натуральных чисел есть 100 составных подряд.

Решение: Это 101! + 2, 101! + 3, 10! + 101.

Задача 15: a,b,k – целые числа. a + b и ab делятся на k. Доказать, что

a) a² – b² делится на c.

b) a² + b² делится на k

c) a³ + b³ делится на k².

Задача 16: Доказать, что дроби не сократимы: a) b) .

Задача 17: a) Найти наименьший общий делитель (НОД) (11 … 1 (9 единиц), 11 … 1 (6 единиц)).

b) Доказать, что наименьший общий делитель числа из a единиц и числа из b единиц равен числу из НОД(a,b) единиц.

Задача 18: a) Разделить с остатком 2²¹ – 1 на 2¹³ – 1.

b) Найти НОД этих чисел.

Задача 19: Доказать, что для любого n > 2 найдется простое число между n и n!.

Задача 20: Доказать, что не целое.

Решение: Изучите степени двойки в знаменателе

Задача 21: a + b = 239, a, b – натуральные числа. Чему может быть равен НОД(a,b)?

Задача 22: n < 10⁶. Доказать, что количество делителей n меньше 2000.

Задача 23: d(n) – количество делителей числа n. Доказать, что их произведение равно .

Задача 24: На что можно сократить дробь и при каких n ?

Задача 25: Доказать, что максимальная степень p, на которую делится n!, равна , p – простое число.

Задача 26: Найти все четные a, обладающие следующим свойством: если a делится на простое p, то a – 1 делится на p – 1.

Решение: Степени двойки

Задача 27: Дробь сократима на k. Доказать, что ad – bk делится на k.

Задача 28: a₁, … ,a_n – различные натуральные числа, a₁ – наименьшее из них. Доказать, что НОК(a₁, … ,a_n) ≥ na₁.

Задача 29: Найти все натуральные числа делящиеся на 18 и имеющие ровно a) 17 b) 14 c) 15 делителей.

Задача 30: Число n имеет ровно 1982 делителя. Доказать, что n не делится на 66.

Задача 31: Число записано в виде несократимой дроби . На сколько нулей оканчивается q?

Задача 32: a, b – натуральные числа, a + b = 30030. Доказать, что ab не делится на 30030.

Задача 33: Доказать, что n! делится на 2ⁿ.

Задача 34: Найти наименьшее натуральное число, являющееся одновременно удвоенным квадратом, утроенным кубом и умноженной на 5 пятой степенью натурального числа.

Решение: 2¹⁵ • 3¹º • 5⁶

Задача 35: Доказать, что (n + 1)(n + 2) … (2n – 1)2n делится на n!.

Проще всего воспользоваться комбинаторными соображениями.

Задача 36: Число A равно (16a + 17b)(17a + 16b), где a и b – целые. Известно, что A делится на 11. Доказать, что A делится на 121.