Задача 1: Доказать, что

a) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

b) Если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный.

Задача 2: Доказать, что

a) В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

b) Если биссектриса совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

c) То же, если медиана и биссектриса совпадает.

d) То же, если высота совпадает с медианой.

Задача 3: Доказать, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

Задача 4:

a) Найти сумму углов выпуклого n-угольника.

b) Каково максимально возможное количество острых углов в нем?

Задача 5: Доказать, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона.

Задача 6: Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана с основанием на гипотенузе равна половине гипотенузы.

Задача 7: Найти сумму углов a) пятиугольной звезды; b) семиугольной звезды.

Задача 8: Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла проходит через центр квадрата, построенного на гипотенузе во внешнюю сторону.

Задача 9: Доказать, что равнобедренная трапеция – вписанный четырехугольник.

Задача 10: ABCD – квадрат, O – точка внутри него, такая, что  ∠ OAD =  ∠ ODA = 15  . Доказать, что треугольник BOC – равносторонний.

Задача 11: Две окружности пересекаются в точках A и B. A₁ и A₂ – точки, диаметрально противоположные A на первой и второй окружности. Доказать, что A₁, B и A₂ лежат на одной прямой.

Задача 12: Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и вдвое меньше его по длине.

Задача 13: Доказать, что биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Задача 14: Доказать, что углы при основании равнобочной трапеции равны.

Задача 15: Выразить угол между двумя биссектрисами через углы треугольника.

Задача 16: Выразить угол между двумя внешними биссектрисами через углы треугольника.

Задача 17: h_a и h_b – высоты треугольника, опущенные на стороны a и b. Известно, что h_a ≥ a, h_b ≥ b. Найти углы треугольника.

Задача 18: Дана трапеция с основаниями a и b, a ≥ b,

a) Доказать, что длина средней линии равна .

b) Доказать, что длина отрезка средней линии между диагоналями равна .

Задача 19: Дан угол и точка внутри него. Найти точки X и Y на сторонах угла такие, что A – середина отрезка XY.

Задача 20:

a) Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане между ними.

b) Верен ли такой же признак равенства по двум сторонам и высоте?

Задача 21: ABCD – выпуклый четырехугольник. Доказать, что  ∠ A +  ∠ B ≥  ∠ C –  ∠ D.

Задача 22: Доказать, что a) если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный. b) если две медианы треугольника равны, то он равнобедренный.

Задача 23: В треугольнике ABC AB > BC. На продолжении стороны отложен отрезок BD, равный AB. Доказать, что  ∠ ACD > 90  .

Задача 24: Существует ли правильный n-угольник, у которого одна диагональ равна сумме двух других?

Задача 25: Доказать, что a) если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он – ромб. b) если диагонали равны, то он – прямоугольник.

Задача 26: В трапеции одна из диагоналей делится другой пополам. Доказать, что эта трапеция является параллелограммом.

Задача 27: Доказать, что середины сторон четырехугольника образуют параллелограмм.

Задача 28: Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда средние линии равны.

Задача 29: Доказать, что диагонали четырехугольника равны тогда и только тогда, когда средние линии перпендикулярны.

Задача 30: Доказать, что точка пересечения двух медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1.

Задача 31: Доказать, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 32: ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения его диагоналей. Доказать, что S_OAB + S_OCD = S_OAD + S_OBC.

Задача 33: Доказать, что радиус вписанной окружности треугольника равен (S – площадь, P – периметр).

Задача 34: Четыре прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены в квадрат со стороной c.

a) Найти площадь среднего квадратика.

b) Доказать теорему Пифагора: c² = a² + b².

Задача 35: Доказать, что любой четырехугольник покрывается кругами, построенными на его сторонах как на диаметрах.

Задача 36: Дан выпуклый четырехугольник. 4 треугольника, на которые он разбивается диагоналями, имеют равные площади. Доказать, что четырехугольник является параллелограммом.

Задача 38: ABCD – трапеция, O – точка пересечения ее диагоналей. Доказать, что S_AOB + S_COD = S_AOD + S_BOC.

Задача 39: r – радиус вписанной окружности треугольника, h_a, h_b, h_c - высоты. Доказать, что .

Задача 40: a) В выпуклом четырехугольнике провели две среднии линии, и получившиеся 4 четырехугольника раскрасили в шахматном порядке. Доказать, что сумма площадей белых частей равна сумме площадей черных.

b) Доказать тоже самое для картинки , где каждая сторона разбита на 4 равные части, и точки деления соединены с соответствующими на противоположной стороне четырехугольника.

Задача 41: a) ABCD – выпуклый четырехугольник, X – середина CD. Доказать, что S_ABX = ½(S_ABC + S_ABD).

b) ABCD – выпуклый четырехугольник, M – середина AB, N – середина BC. S_ABCD = 1. Найти S_ABC + S_DMC + S_AND.

Задача 42: Доказать, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, прямой.

Задача 43: Доказать, что угол, вписанный в окружность, равен половине стягиваемой им дуги.

Задача 44: a) Доказать, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов.

b) Доказать обратное утверждение.

Задача 45: На середине прислоненной к стене лестницы сидит кошка. Лестница начинает съезжать. Какую линию опишет кошка?

Задача 46: Угол с вершиной вне окружности высекает на ней дуги с величинами a и b. Доказать, что величина угла равна (если a > b).

Задача 47: Угол с вершиной внутри окружности высекает на ней дуги с величинами a и b. Доказать, что его величина равна .

Задача 48: Доказать, что дуги, высекаемые на окружности парой параллельных прямых, равны:

a) если обе прямые пересекают окружность в двух точках

b) если одна из них является касательной.

Задача 49: Даны две пересекающиеся окружности. ABCD – выпуклый четырехугольник, причем A и D лежат на одной окружности, B и C - на другой, стороны AB и CD проходят через точки пересечения окружностей. Известно, что ABCD – вписанный. Доказать, что AD параллельно BC.

Задача 50: ABCD – квадрат, E – середина стороны AD, k – точка по диагонали AC, такая, что AK:KC = 3:1. Доказать, что угол BKE – прямой.

Задача 51: Выразить через стороны треугольника длины отрезков между вершинами и точками касания вписанной окружности.

Задача 52: Из точки A вне окружности проведена касательная AD и секущая, пересекающая окружность в точках B и C. Доказать, что a) треугольники ABD и ADC подобны b) AB • AC = AD².

Задача 53: ABC – произвольный треугольник. Проведена вневписанная окружность, касающаяся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.B₁ – точка касания этой окружности и продолжения стороны AB.

a) Доказать: (p – периметр треугольника).

b) Доказать, что ). (r – радиус окружности).

Задача 54: ABCD – выпуклый четырехугольник. E – середина AB,F – середина CD. Точки A₁, A₂, A₃, A₄ лежат на стороне AD (и перечислены в порядке удаления от A), для ее на 5 равных отрезков. Аналогично определяются точки B₁, B₂, B₃, B₄ на стороне BC. Доказать, что EF делится на 5 равных частей точками пересечения с отрезком A_iB_i.

Задача 55: Отрезки AD и BC пересекаются в точке X, причем AX = DX = BD. Y – такая точка на отрезке BC, что BX = CY. Доказать, что AC = DY.

Задача 56: a) Доказать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

b) Доказать, что серединные перпендикуляры сторон пересекаются в одной точке.

Задача 57: В выпуклом четырехугольнике ABCD угол B – прямой. Диагональ AC является биссектрисой угла, и по длине равна стороне AD. X – основание перпендикуляра, опущенного из D на AC. Прямая BX пересекает CD в точке Y. Доказать, что Y – середина CD.

Задача 58: a, b, c – стороны треугольника (сторона c лежит напротив угла C). Доказать, что:

если 2C = 90  , то c² = a² + b²

если 2C = 90  , то c² > a² + b²

если 2C = 90  , то c² < a² + b².

Задача 59: С помощью циркуля и линейки разделить отрезок на a) 3 b) 5 равных частей.

Задача 60: Даны отрезки длины 1, a, b. С помощью циркуля и линейки построить отрезки ab и a/b.

Задача 61: Провести окружность, вписанную в данный угол и проходящую через данную точку.

Задача 62: Выразите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, через катеты.

Задача 63: Выразить высоту треугольника через стороны.

Задача 64: a) Дана окружность радиуса r и точка x внутри окружности, AB – хорда, проходящая через точку x. Доказать, что AX • BX = r² – OX².

b) Дана окружность радиуса r и точка X вне окружности. AB - хорда, продолжение которой проходит через X. Доказать, что AX • BX = OX² – r².

Задача 65: Доказать, что для выпуклого четырехугольника ABCD следующие условия эквивалентны:

1. B, C, D лежат на окружности с центром A.

2. Серединные перпендикуляры к BC и CD проходят через A.

3. AB = CD и  ∠ A + 2 ∠ C = 360  .

Задача 66: В трапеции ABCD (с основанием AD) биссектриссы углов A и B пересекаются в точке M, биссектриссы углов C и D – в точке N. Доказать, что MN = AD + BC – AB – CD.

Задача 67: С помощью циркуля и линейки восстановить параллелограмм ABCD по вершине A и серединам сторон BC и CD.

Задача 68: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O, причем OC = AB. Найти угол при вершине C.

Задача 69: Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найти углы треугольника.