Задача 1: Прямая раскрашена в два цвета. Доказать, что найдется отрезок, концы и середина которого – точки одного цвета.

Задача 2: Доказать, что можно разрезать квадрат на: a) 6 b) 7 c) 8 квадратов d) любое число квадратов, большее 5.

Задача 3: Доказать, что n прямых общего положения разбивают плоскость на частей.

Задача 4: Доказать, что куб можно разбить на любое число кубов, не меньшее 200.

Задача 5: Стороны выпуклого 100-угольника окрашены снаружи. Каждая диагональ окрашена с одной стороны. Доказать, что хотя бы один из кусков, на которые диагонали разбивают 100-угольник, будет окрашен лишь с внешней стороны.

Задача 6: На доске 8 × 8 отмечены центры всех клеток. Можно ли провести 13 прямых так, чтобы любые две отмеченные точки разделялись прямой?

Задача 7: Дано несколько отрезков на прямой. Любые два из них имеют общую точку. Доказать, что все они имеют общую точку.

Задача 8: Правильный 8-угольник разбит на параллелограммы. Доказать, что среди них есть a) по крайней мере один прямоугольник. b) по крайней мере два прямоугольника.

Задача 9: Плоскость раскрашена в два цвета. Доказать, что найдется

a) равносторонний треугольник

b) прямоугольник

с вершинами одного цвета.

Задача 10: На плоскости отмечено 100 красных и 100 синих точек. Доказать, что можно провести 100 непересекающихся отрезков, у каждого из которых один конец красный, а другой – синий.

Задача 11:

Среди n прямых нет параллельных, и через любую точку пересечения двух из них проходит по крайней мере еще одна прямая. Доказать, что все прямые проходят через одну точку.

Задача 12:

Даны несколько точек, не лежащих на одной прямой. Доказать, что найдется прямая, проходящая ровно через две данных точки.

Задача 13: Плоскость разбита на треугольники, причем их вершины не лежат на сторонах. Вершины раскрашены в 3 цвета так, что соседние вершины имеют разные цвета. Доказать, что треугольники можно раскрасить в два цвета так, чтобы соседние имели разные цвета.

Задача 14: На плоскости дано несколько точек (не меньше трех). Известно что для любых трех из этих точек найдется четвертая, образующая вместе с ними параллелограмм. Доказать, что точек всего четыре.

Задача 15: Доказать, что квадрат 8 × 8, из угла которого вырезан квадрат 1 × 1, нельзя разрезать на 17 равновеликих треугольников.

Задача 16: На плоскости нарисовано несколько непересекаюшихся кругов. Доказать, что есть круг, касающийся

a) не более шести кругов.

b) не более пяти кругов.

Задача 17: («Лемма Шпернера») Треугольник ABC разбит на треугольники, вершины которых не лежат на сторонах (но могут лежать на сторонах треугольника ABC). Вершины треугольников раскрашены в три цвета так, что на стороне AB (в том числе и на вершинах) нет цвета 1, на AC нет цвета 2, на BC нет цвета 3. Доказать, что найдется треугольник разбиения, все вершины которого имеют разные цвета.

Задача 18: В прямоугольнике 3 × 4 лежат 6 точек. Доказать, что есть 2 из них на расстоянии не больше .

Задача 19: Доказать, что любой многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники.

Задача 20: Доказать, что сумма углов (не обязательно выпуклого) n-угольника равна 180(n – 2).

Задача 21: Доказать, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах сетки.

Задача 22: (Формула Пика). Доказать, что площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна где a – число узлов внутри многоугольника, b – число узлов на границе:

a) для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки

b) для прямоугольного треугольника с катетами, идущими вдоль линий сетки

c) для многоугольника, составленного из двух других, для которых формула выполняется

d) для произвольного треугольника

e) для произвольного многоугольника.

Задача 23: Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на части, из которых можно сложить другой. Доказать, что

a) если A равносоставлен с B, а B равносоставлен с C, то A равносоставлен с C.

b) два равновеликих параллелограмма с общей стороной равносоставлены

c) два любых равновеликих параллелограмма равносоставлены

d) любой треугольник равносоставлен с некотрым параллелограммом

e) любой многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником со стороной 1.

f) любые два многоугольника с одинаковой площадью равносоставлены.