Задача 1: Что больше: a) 2³º или 3²º b) 7⁵⁰ или 50²⁵?

Задача 2: Что больше: 215³³ или 50⁵⁰?

215³³ < 50⁵⁰, так как 50 > 7², а 215 < 7³.

Задача 3: Доказать, что у числа 2³ºº не меньше 90 и не больше 100 цифр.

Задача 4: Доказать, что натуральное число не меньше: a) суммы b) произведения своих цифр.

Задача 5: Доказать, что .

Задача 6: Доказать, что .

Решение: Домножьте на большее число

Задача 7: Что больше a) 6⁶⁵ или 9⁵⁶?

b) 99! или 50⁹⁹?

Задача 8: Доказать, что .

Задача 9: Доказать, что в числе 3²ºº не более 100 цифр.

Задача 10: Доказать, что 2ⁿ > n при любом n.

Задача 11: Доказать, что 2ⁿ < n! при n ≥ 4.

Задача 12: Доказать, что n! ≤ nⁿ.

Задача 13: x + y + z = 0. Доказать, что xy + yz + zx ≤ 0.

Задача 14: Доказать, что .

Задача 15: Доказать: .

Задача 16: Доказать неравенство Бернулли: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

a) если x > 0

b) если x >  – 1.

Задача 17: a) Доказать, что .

b) Существует ли n, для которого .

Задача 18: Доказать, что a)1,01¹ººº > 10.b)1,01¹ººº > 1000.

Задача 19: Доказать, что при любом положительном .

Задача 20: x – положительное число, x(x + 1)(x + 2) … (x + 239) = 1. Доказать, что .

Задача 21: Доказать, что , если a,b,c > 0.

Задача 22: a) a,b,c > 0. Доказать, что a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac.

b) a,b,c – стороны треугольника. Доказать, что 2(ab + bc + ac) ≥ a² + b² + c².

Задача 23: a,b ≥ 0,a + b = 1. Доказать, что :

a) a² + b² ≥ ½.

b) a⁴ + b⁴ ≥ ⅛.

Задача 24: |x|,|y| < 1. Доказать, что .

Задача 25: Доказать, что

Задача 26: Что больше: или ?

Решение: Правая часть больше

Задача 27: a₁, … ,a_n – положительные числа, произведение которых равно единице. Доказать, что (1 + a₁)(1 + a₂) … (1 + a_n) ≥ 2ⁿ.

Решение: При фиксированном ab величина (1 + a)(1 + b) тем меньше, чем ближе числа a и b друг к другу. Сближая числа a₁, , a_n, можно сделать их всех равными единице.. Значение левой части уменьшается, а в конце окажется равным 2ⁿ.

Задача 28: Доказать, что  – положительные числа).

Задача 29: Доказать, что .

Задача 30: Доказать, что .

Задача 31: Числа a и b таковы, что Доказать, что одно из чисел a и b больше единицы, а другое меньше.

Задача 32: a₁,..,a_n > 0. Доказать, что .

Задача 33: x,y,z ≥ 0. Доказать, что

a) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz

b) x³ + y³ + z³ ≥ x²y + y²z + z²x ≥ 3xyz.

Задача 34: x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 0, x + y + z + t = 1. Доказать, что x² + 3y² + 5z² + 7t² ≤ 1.

Задача 35: a,b,c > 0. Доказать, что

Задача 36: (Неравенство Чебышева) a) x₁ > x₂,y₁ > y₂. Доказать, что x₁y₁ + x₂y₂ > x₁y₂ + x₂y₁.

b) Даны два набора чисел x₁, … ,x_n и y₁, … y_n, причем x_i перечислены в порядке возрастания. Числа y_i переставляют всеми возможными способами и для каждой перестановки вычисляют выражение x₁y₁ + x₂y₂ +  …  + x_ny_n. Доказать, что наибольшее значение этого выражения достигается, когда y_i переставлено в порядке возрастания, а наименьшее, когда они переставлены в порядке убывания.