Задача 1: Существует ли натуральное x, такое что x² + x + 1 делится на 1985?

Задача 2: Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

Задача 3: Найти последнюю цифру числа 7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

Задача 4: Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры.

Задача 5: Найти последнюю цифру числа 1 • 2 + 2 • 3 +  …  + 999 • 1000.

Задача 6: На сколько нулей оканчивается число 9⁹⁹⁹ + 1?

Решение: На один

Задача 7: Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, … ,7 по модулю 8.

Решение: НОД (2,3,4 … ,8) – 1.

Задача 8: Доказать, что если a² + b² делиться на 7, то и ab делится на 7.

Задача 9: Доказать, что 43²³ + 23⁴³ делится на 66.

Задача 10: Доказать, что 43⁴³ + 17¹⁷ делится на 10.

Задача 11: Найти остаток 13¹⁶ – 2⁵⁵ • 5¹⁵ по модулю 3.

Задача 12: Доказать, что 776⁷⁷⁶ + 777⁷⁷⁷ + 778⁷⁷⁸ делится на 3.

Задача 13: Найти остаток 4¹⁸ + 5¹⁷ по модулю 3.

Задача 14: Найти остаток (116 + 17¹⁷)²¹ • 7⁴⁹ по модулю 8.

Решение: 3

Задача 15: Доказать, что для любого n a) 7²ⁿ – 4²ⁿ делится на 33

b) 3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ делится на 35.

Задача 16: Доказать,что 1985!! + 1986!! делится на 1987.

Задача 17: Доказать, что для любого n  – целое число.

Задача 18: Доказать, что при четном n 20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1 делится на 323.

Решение: Подсказка: 323 = 17 • 19

Задача 19: Доказать, что (2ⁿ – 1)ⁿ – 3 делится на 2ⁿ – 3 при любом n.

Задача 20: Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом n.

Задача 21: Доказать, что 2^2n – 1 + 3n + 4 делится на 9 при любом n.

Задача 22: x² ≡ y² (mod %)%239. Доказать, что x ≡ y или x ≡  – y.

Задача 23: Доказать, что делится на 17.

Задача 24: a₁ = a₂ = 1, a_n + 1 = a_na_n – 1 + 1. Доказать, что a_n не делится на 4.

Задача 25: Доказать, что

a) Степень двойки не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

b) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).

c) Квадрат не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

Задача 26: Доказать, что n-е простое число больше 3n при n > 12.

Решение: Рассмотрите остатки по модулю 6.

Задача 27: 2ⁿ = 10a + b, b < 10. Доказать, что ab делится на 6.

Задача 28: Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3.

Задача 29: В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причем один золотой составляет 1001 грошей. Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Задача 30: n + 1 делится на 24. Доказать, что сумма делителей n делится на 24.

Решение: Докажите, что n – не квадрат и разбейте делители на пары.

Задача 31: a ≡ 68 (mod %)%1967, a ≡ 69 (mod %)%1968. Найти остаток a по модулю 14.

Задача 32: Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида 6k + 5.

Задача 33: Доказать, что 3ⁿ + 1 не делится на 10¹ºº.

Решение: Оно не делится даже на 8.

Задача 34: p – простое число. Доказать, что остаток p по модулю 30 – простое число или 1.

Задача 35: m и n взаимно просты, b – произвольное целое число. Доказать, что числа b, b + n, b + 2n, … ,b + (n – 1)n дают все возможные остатки по модулю m.

Задача 36: Найти a) 3 последние цифры b) 6 последних цифр числа 1⁹⁹⁹ + 2⁹⁹⁹ +  …  + (10⁶ – 1)⁹⁹⁹.

Задача 37: Доказать, что a^2n + 1 + (a – 1)^n + 2 делится на a² – a + 1.

Задача 38: p и q – простые числа больше 3. Доказать, что p² – q² делится на 24.

Задача 39: Может ли m! + n! оканчиваться на 1990?

Задача 40: Доказать, что n² + 5n + 16 не делится на 169 ни при каком натуральном n.

Решение: n² + 5n + 16 = (n – 4)² + 13n.

Задача 41: При каких n n² – 6n – 4 делится на 13?

Задача 42: Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии

a) Имеется бесконечно много составных чисел.

b) Имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.