Задача 1: Доказать,что

Задача 2: Найти: a) 2 + 4 + 6 +  …  + 2n.

b) 1 + 3 + 5 +  …  + (2n – 1).

Задача 3: Доказать тождества:

a) aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n – 1 + a^n – 2b + a^n – 3b² +  …  + b^n – 1)

b) aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n – 1 – a^n – 2b + a^n – 3b² +  …  + b^n – 1) при нечетном n.

Задача 4: a) Доказать, что n^k – 1 делится на n – 1

b)Доказать,что a^k – b^k делится на a – b.

c) При каких k n^k + 1 делится на n + 1 для любого n?

d) При каких k a^k + b^k делится на a + b для любых a и b?

Задача 5: a₀, … ,a_n – арифметическая прогрессия с разностью d. Доказать, что a)

b)

Задача 6: Доказать, что 1 + 2 + 4 +  …  + 2^k – 1 = 2^k – 1.

Задача 7: Доказать: .

Задача 8: Доказать, что .

Задача 9: Найти 1 + 11 + 111 +  …  + 11 … 1 (в последнем слагаемом n единиц).

Задача 10: Найти .

Задача 11: Найти 1 • 1! + 2 • 2! +  …  + n • n!.

Задача 12: Вещественное число x таково, что  – целое. Доказать, что при любом  – целое.

Решение:

ПО индукции с помощью тождества

Задача 13: .

Задача 14: Разложить на множители:

a) a² + b² – (c² + 2ab),

b) a⁴ + 4b⁴.

Решение:

b) (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² – 2ab

Задача 15: Доказать, что .

Задача 16: Доказать, что .

Задача 17: Доказать, что a) 1030721 – составное число.

b) 2⁸ + 2⁵ • 5⁶ + 5¹² – составное число.

Решение:

а) Оно делится на 103

b) Оно равно (2⁴ + 5⁶)²

Задача 18: Доказать, что число a) 57599 b) 343001 – составное.

Решение:

a) 24² – 1; b) 70³ + 1.

Задача 19: Доказать, что

a)

c) суммы в пунктах a) и b) равны.

Решение: Эти выражения равны .

Задача 20: a) Найти .

b) Доказать, что .

Задача 21: Найти .

22 a,b,c – целые числа, a + b + c = 0. Доказать, что 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) – точный квадрат.

Задача 23: Целые числа a и b представляются в виде суммы двух квадратов целых чисел. Доказать, что их произведение тоже представляется в виде суммы квадратов.

Задача 24: Доказать, что число 2¹º + 5¹² – составное.

Задача 25: Доказать, что a) Если 2ⁿ – 1 – простое, то и n – простое.

b) Если 2ⁿ + 1 – простое, то n – степень двойки.

Задача 26: Разложить 2⁵⁸ + 1 на 3 множителя.

Задача 27: x₁ = 2,x_n + 1 – наибольший простой делитель числа x₁x₂ … x_n + 1. Доказать, что x_n не равно 5 при любом n.

Решение: x₁ = 2, x₂ = 3 и больше двоек и троек не встретится. x_n + 1 может быть равно 5 только если x₁x₂ … x_n не делится на 4.

Задача 28: Доказать, что число 11 … 122 … 2 (100 единиц и 100 двоек) является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Задача 29: . Найти: a) b) .

Задача 30: Доказать, что число 11 … 155 … 56(100 единиц, 99 пятерок) является точным квадратом.

Задача 31: . Доказать, что среди чисел a, b и c есть два с суммой, равной нулю.