Задача 1:

p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа а) pq; б) p²q; в) p²q²; г) pⁿq^m?

Решение:

Ответ: а) 4; б) 6; в) 9; г) (n + 1)(m + 1).

Задача 2:

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Решение:

Указание: Среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное число и одно число, делящееся на 3.

Задача 3:

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.

Решение:

Среди этих чисел есть число, кратное 3, есть число, кратное 5, и есть два четных числа, одно из которых делится на 4.

Задача 4:

p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p² и взаимно простых с ним?

Решение:

Ответ: а) p – 1; б) p² – p.

Задача 5:

Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

Решение:

Поскольку 990 = 2 • 3² • 5 • 11, то n = 11.

Задача 6:

Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Решение:

Нет, поскольку 24! оканчивается на 4 нуля, а 25! – уже на 6 нулей.

Задача 7:

На сколько нулей оканчивается число 100! ?

Решение:

Это степень, в которой входит число 5 в разложение числа 100! на простые множители.

Задача 8:

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, – точный квадрат.

Решение:

Указание: Если d – делитель n, то n/d – также делитель n.

Задача 9:

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

Решение:

Число слева не делится на 11, а справа – делится.

Задача 10:

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Решение:

Указание: Это число делится на 3, но не делится на 9.

Задача 11:

56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.

Решение:

65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a. Так как 65 и 121 взаимно просты, то a + b делится на 121. Поскольку 121 = 11² – составное число, то и a + b – составное.

Задача 12:

Решите в натуральных числах уравнение а) x² – y² = 31; б) x² – y² = 303.

Решение:

Указание: x² – y² = (x – y)(x + y).

Ответ: а) x = 16, y = 15; б) x = 152, y = 151 или x = 52, y = 49.

Задача 13:

Решите в целых числах уравнение x³ + x² + x – 3 = 0.

Решение:

x(x² + x + 1) = 3. Отсюда либо x =  ± 1, либо x =  ± 3.

Задача 14:

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство .

Решение:

Указание: Проверьте, что любое простое число p входит в одной и той же степени в обе части равенства.