Задача 30:

Ферзь стоит на поле c1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали «вправо-вверх». Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8.

Решение:

Пользуясь анализом с конца, можно получить расстановку плюсов и минусов... Выигрывает первый игрок, причем у него есть три варианта первого хода: на поля c5, e3, d1.

Задача 31:

Имеется две кучки камней: в первой – 7 камней, во второй – 5. За ход разрешается брать любое количество камней из одной кучки или поровну камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Покажем, как переформулировать эту задачу на уже привычном для нас языке шахматной доски. Пронумеруем вертикали и горизонтали шахматной доски числами от 0 до 7: вертикали – сверху-вниз, а горизонтали – справа-налево. Каждой позиции исходной игры сопоставим клетку, находящуюся на пересечении горизонтали с номером, равным числу камней в первой кучке, и вертикали с номером, равным числу камней во второй кучке. Теперь заметим, что ходу в первоначальной игре соответствует ход ферзя вправо, вверх или по диагонали «вправо-вверх» на шахматной доске. Таким образом, мы отождествили нашу игру с игрой из задачи 30. Отметим, что точно так же можно отождествить игры в задачах 10 и 22.

Задача 32:

Конь стоит на поле a1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Ответ: Выигрывает второй игрок.

Задача 33:

а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.

Решение:

Пункты а) и б) можно переформулировать в терминах шахматной доски. В обоих пунктах выигрывает первый игрок.

Задача 34:

Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый.

Задача 35:

Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.

Решение:

Эта задача является примером того, что геометрическая интерпретация необязательна для проведения анализа с конца. Здесь плюсами и минусами удобно помечать числа. Плюсом оказываются помечены числа, делящиеся на 10. Таким образом, выигрывает второй игрок.

Задача 36:

Игра начинается с числа 1. За ход разрешается умножить имеющееся число на любое натуральное число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000.

Решение:

Анализируя с конца, находим выигрышные позиции. Это числа от 56 до 111 и от 4 до 6. Таким образом, выигрывает первый игрок (его первый ход – в 4, 5 или 6).

Задача 37:

Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.

Решение:

Анализируя с конца, находим выигрышные позиции: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3. Выигрывает первый игрок.

Задача 38:

Игра начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося числа любое, не превосходящее его, натуральное число, являющееся степенью двойки (1 = 2º). Выигрывает тот, кто получит ноль.

Решение:

Анализируя с конца, находим выигрышные позиции. Это числа, делящиеся на 3. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он может, например, вычесть 1, 4, 16.