Задача 18:

Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что AO + OC < AB + BC.

Решение:

Продолжите отрезок AO до пересечения со стороной BC в точке D. Сложите теперь неравенства треугольника AB + BD > AD и OD + DC > OC и сократите по OD в обеих частях неравенства.

Задача 19:

Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин треугольника ABC меньше его периметра, если точка O лежит внутри этого треугольника. А если она лежит вне треугольника?

Решение:

Решается сложением трех неравенств: AO + OC < AB + BC, AO + OB < AC + BC и BO + OC < AB + BC.

Задача 20:

Полуостров представляет собой тупой угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

Решение:

Ответ: Лесник должен идти к вершине угла, а затем обратно к дому.

Задача 21:

Докажите, что длина медианы AM треугольника ABC не превосходит полусуммы длин сторон AB и AC. Докажите также, что сумма длин медиан треугольника не превосходит его периметра.

Решение:

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC. Тогда по неравенству треугольника AB + BD > AD, при этом BD = AC, а AD = 2AM.

Задача 22:

а) Треугольник A′B′C′ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр A′B′C′ не больше периметра ABC.

б) Треугольник ABC лежит внутри выпуклого многоугольника M. Докажите, что периметр ABC не больше, чем периметр M.

в) Выпуклый многоугольник M′ лежит внутри выпуклого многоугольника M. Докажите, что периметр M′ не больше периметра M.

Решение:

Проведем прямую через сторону AB многоугольника M′, которая пересекает контур многоугольника M в точках C и D. Тогда по неравенству треугольника очевидно, что периметр того куска многоугольника M (из двух, на которые рассекла его прямая AB), который содержит M′, не больше, чем периметр M.

Повторяя эту операцию, придем к многоугольнику M′.

Задача 23:

Многоугольник, вырезанный из бумаги, сложили пополам, перегнув его по прямой. Докажите, что периметр полученного многоугольника не превосходит периметра исходного.

Решение:

При таком складывании при подсчете периметра по сравнению с периметром исходного многоугольника теряется длина ломаной A … B, но добавляется длина отрезка AB (где AB – отрезок, по которому прямая пересекает многоугольник). Из неравенства треугольника следует, что периметр уменьшается.

Задача 24:

Докажите, что в выпуклом многоугольнике не может быть трех сторон, превосходящих по длине наибольшую диагональ.

Решение:

Рассмотрим те две из этих сторон, которые не имеют общих вершин – это стороны AB и CD. Тогда, с одной стороны, AC + BD < AB + CD (так как AC и BD – диагонали), а с другой стороны, если AC и BD пересекаются в точке O, то OA + OB > AB и OC + OD > CD, и, складывая эти неравенства, мы получаем: AB + CD < AC + BD – противоречие.

Задача 25:

Докажите, что периметр треугольника не превосходит суммы длин медиан, увеличенной в 4/3 раза. (Для решения этой задачи надо знать, в каком отношении делятся медианы точкой их пересечения).

Решение:

Пусть медианы пересекаются в точке M. Тогда, складывая неравенства AM + BM > AB, BM + CM > BC и CM + AM > AC и, учитывая то, что длины отрезков AM, BM и CM составляют 2/3 длин медиан, получаем требуемое неравенство.

Задача 26:

Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой – параллельные прямые. В каком месте реки необходимо построить мост, перпендикулярный берегам так, чтобы длина пути из одной деревни в другую была бы минимальна?

Решение:

Если ширина реки – h, а деревни расположены в точках A и B, то концы моста расположены в точках пересечения прямых A′B и AB′ с берегами, где A′ и B′ получаются из A и B при параллельном переносе на расстояние h к реке.

Задача 27:

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике (т.е. в таком, у которого все диагонали лежат внутри самого пятиугольника) найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.

Решение:

Рассмотрите самую длинную диагональ XY пятиугольника и две пересекающихся диагонали, один из концов которых есть точка X или Y соответственно.