Задача 11:

Грибник выходит из леса в заданной точке. Ему надо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, и зайти обратно в лес в другой заданной точке. Как ему сделать это, пройдя по самому короткому пути?

Решение:

Обозначим точку, в которой грибник выходит из леса, через A, а точку, в которой он должен войти в лес, через B. Отразим точку A симметрично относительно прямой-шоссе и получим точку A′. Тогда из любого пути AKB (K – это точка, в которой грибник выходит на шоссе) можно, отразив симметрично относительно шоссе его участок AK, получить равный ему по длине путь A′KB, длина которого по неравенству треугольника не меньше A′B.

Следовательно, искомая точка K, в которой грибник должен подойти к шоссе – это точка пересечения A′B и шоссе. С помощью аналогичных соображений решаются и другие задачи этой серии. Так, например, в задаче 14 надо отразить точку C симметрично относительно прямых OA и OB, получив точки C′ и C″. Тогда периметр ABC можно заменить на сумму длин отрезков C′A, AB и BC″, которая по неравенству треугольника не меньше длины отрезка C′C″, равной 2|OC|.

Задача 12:

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

Решение:

Указание: Отразим точку, в которой находится дом лесника, относительно сторон угла.

Задача 13:

Точку A, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично относительно сторон угла. Полученные точки B и C соединили и точки пересечения отрезка BC со сторонами угла обозначили через D и E. Докажите, что BC/2 > DE.

Решение:

Воспользуйтесь тем, что AD = BD, AE = EC и неравенством AD + AE > DE.

Задача 14:

Точка C лежит внутри данного прямого угла, а точки A и B лежат на его сторонах. Докажите, что периметр треугольника ABC не меньше удвоенного расстояния OC, где O – вершина данного прямого угла.

Задача 15:

Муха сидит в вершину X деревянного куба. Как ей переползти в противоположную вершину куба Y, двигаясь по самому короткому пути?

Решение:

Ответ: ей следует ползти через середину ребра, разделяющего две соседние грани, содержащие точки X и Y.

Задача 16:

Муха сидит на внешней поверхности круглого стакана. Ей надо перебраться в другую точку, лежащую на внутренней поверхности стакана. Найдите кратчайший путь мухи (толщиной стенок стакана пренебрегите).

Решение:

Указание: рассмотрите две одинаковые развертки боковой поверхности стакана, одна из которых будет представлять внутреннюю, а другая – внешнюю поверхность стакана. Склейте их по общей границе и отметьте две данные точки.

Задача 17:

На середине ребра молочного пакета сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?

Решение:

Ответ: он должен проползти по средним линиям двух соседних граней, на противоположных ребрах которых находятся паук и цель его пути.