Задача 1:

Докажите, что для любых трех точек A, B и C на плоскости выполнено неравенство AC ≥ |AB – BC|.

Решение:

Это неравенство треугольника в чистом виде.

Задача 2:

Длина стороны AC треугольника ABC равна 3,8, длина стороны AB – 0,6. Известно, что длина стороны BC – целое число. Какова эта длина?

Решение:

Ответ: 4.

Задача 3:

Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.

Решение:

Обозначим длины сторон треугольника через a, b, c. Так как b + c > a, то a + b + c > 2a.

Задача 4:

От Ленинграда до Москвы 660 км, от Ленинграда до деревни Лыково – 310 км, от Лыково до Клина – 200 км, и от Клина до Москвы – 150 км. Каково расстояние от Лыково до Москвы?

Решение:

Заметим, что сумма расстояний от Ленинграда до Лыкова, от Лыкова до Клина и от Клина до Москвы равна расстоянию от Ленинграда до Москвы, а значит, все эти населенные пункты лежат на одной прямой.

Задача 5:

В стране 4 города: A, B, C и D. Два самолета одновременно вылетели из города A. Маршрут первого: A-B-D-C-A-D-B-C-A, а маршрут второго: A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A. Какой из самолетов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы?

Решение:

Первый самолет прилетит раньше.

Задача 6:

Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

Решение:

Так как четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются в точке O. Обозначим вершины четырехугольника через A, B, C и D (по часовой стрелке). Тогда сумма расстояний от O до вершин равна сумме длин диагоналей AC и BD. Но для любой другой точки P имеем, во-первых, что сумма расстояний от P до вершин не меньше AC + BD, а во-вторых, либо PA + PC > AC, либо PB + PD > BD. Значит эта сумма равна AC + BD только если P совпадает с точкой O. Значит, точка O – искомая.

Задача 7:

На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.

Решение:

Сложите неравенства треугольника AC + OC > OA и OB + OD > BD. Так как AC = BD, то, сокращая, получаем требуемое.

Задача 8:

Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин диагоналей больше его полупериметра и меньше периметра.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Требуемые неравенства легко выводятся из неравенств треугольника для треугольников OAB, OBC, OCD, ODA и для треугольников ABC, BCD, CDA и DAB.

Задача 9:

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике сумма длин диагоналей больше периметра и меньше удвоенного периметра.

Задача 10:

Внутри треугольника взяли две произвольные точки. Докажите, что расстояние между ними не превосходит полупериметра треугольника.

Решение:

Продолжите отрезок, соединяющий эти точки, в обе стороны до пересечения с контуром треугольника.