Задача 99:

В классе 14 человек занимаются английским языком, 8 человек – французским. Трое учеников при этом изучают оба языка. Сколько учеников в классе, если известно, что каждый изучает хотя бы один язык?

Задача 100:

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр.

Задача 101:

Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется отрезок ненулевой длины, середина и концы которого окрашены в один цвет.

Задача 102:

Квадрат 8 × 8 сложен из доминошек 1 × 2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2 × 2.

Задача 103:

Числа, записанные в таблице 3 × 3, разрешается изменять следующим образом: прибавить по единице к каждому из чисел любого квадратика 2 × 2. Можно ли из таблицы, заполненной одними нулями, получить таблицу, изображенную на рисунке?

Задача 104:

Автобус назовем переполненным, если в нем больше 50 пассажиров. Едет колонна автобусов. Что больше – процент переполненных автобусов или процент пассажиров, едущих в переполненных автобусах?

Задача 105:

Варианты городской олимпиады для 6–11 классов составляются так, что в каждом из них по 8 задач, и в каждом варианте есть ровно три задачи, которые встречаются в других классах. Какое максимально возможное количество задач могло использовать жюри?

Задача 106:

Учащиеся школы построены прямоугольным каре. После этого в каждой колонне выбрали самого высокого школьника, и из них выбрали самого низкого – им оказался Петя Иванов. Затем в каждой шеренге выбрали самого низкого школьника и из них выбрали самого высокого – им оказался Ваня Петров. Кто выше – Ваня или Петя?

Задача 107:

30 стульев стоят в ряд. Время от времени подходит человек и садится на один из свободных стульев. При этом один из его соседей (если такие есть) встает и уходит. Какое максимальное число стульев может оказаться занятым, если исходно

а) все стулья свободны;

б) 10 стульев из 30 заняты?

Задача 108:

В вершинах пятиугольника стоят рядом три фишки. Любую фишку разрешается сдвинуть вдоль диагонали на любое свободное поле. Можно ли получить такую позицию, в которой одна фишка осталась бы на старом месте, а две другие поменялись бы местами?

Задача 109:

Среди чисел a, b, c, d, e, f нет равных нулю. Докажите, что среди чисел ab, cd, ef,  – ac,  – be,  – df есть и положительные и отрицательные.

Задача 110:

Рубик разрубает свой кубик на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, чтобы это сделать, если наложения кусков кубика друг на друга при разрубании разрешены?

Задача 111:

Клетки тетрадного листа раскрашены в восемь цветов. Докажите, что найдется фигура вида, указанного на рисунке, внутри которой есть две клетки одного цвета.

Задача 112:

Дан шестизначный телефонный номер. Из скольких семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры?

Задача 113:

Сколько билетов подряд надо приобрести в автобусной кассе, чтобы наверняка попался счастливый? (Билет называется счастливым, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних; количество билетов в рулоне не ограничено).

Задача 114:

Состоялся волейбольный турнир в один круг. Будем говорить, что команда А сильнее команды В, если А выиграла у В или есть такая команда С, которая выиграла у В, проиграв при этом команде А. Докажите, что команда, которая выиграла турнир, сильнее всех.

Задача 115:

Дан клетчатый прямоугольник 20 × 30. Можно ли провести прямую, пересекающую внутренности 50 клеток?

Задача 116:

В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1 до 64, причем каждое число встречается ровно один раз. Докажите, что найдутся две соседние клетки, числа в которых отличаются не менее, чем на 5.