Задача 24:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.

Решение:

Вычтем из числа его последнюю цифру и получим число, оканчивающееся нулем, т.е. делящееся на 10 (а значит, и на 5, и на 2).

Задача 25:

Докажите, что .

Решение:

Указание: все степени десяти, начиная со 100, делятся на 4.

Задача 26:

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2ⁿ и 5ⁿ.

Решение:

Число делится на 2ⁿ (на 5ⁿ) тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на 2ⁿ (на 5ⁿ).

Задача 27:

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

Решение:

Так как последняя цифра 6, то возводимое в квадрат число четно. Раз оно является квадратом, то оно делится и на 4. Следовательно, число, составленное из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Все требуемые двузначные числа легко выписать: 16, 36, 56, 76, 96.

Задача 28:

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

Решение:

Две последние цифры квадрата числа n зависят только от двух последних цифр числа n. Пусть . Тогда . Ясно, что цифра десятков числа b² должна быть нечетной. Прямой перебор показывает, что цифра единиц должна тогда быть равной 6.

Задача 29:

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 16.

Задача 30:

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Решение:

Подберем число так, чтобы сумма его цифр равнялась 125. Делимость числа на 125 определяется тремя его последними цифрами. Следовательно, годится число 111 … 11599125 (в начале записи единица написана 94 раза).

Задача 31:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.

Решение:

Рассмотрим число

Ясно, что 10 ≡ 1 (mod %)%9. Поэтому 10^k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k. Таким образом, a₁10^n – 1 + a₂10^n – 2 +  …  + a_n – 110¹ + a_n ≡ a₁ + a₂ +  …  + a_n (mod %)%9. Рассуждения для числа 3 совершенно аналогичны.

Задача 32:

Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры а) 2, 3, 6; б) 1, 2, 3 ?

Решение:

а) нет; б) нет. Рассмотрите остатки по модулю 9.

Задача 33:

У числа 2¹ºº нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Решение:

7.

Задача 34:

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

Решение:

Эти числа имеют одинаковые суммы цифр и, значит, одинаковые остатки по модулю 9.

Задача 35:

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Решение:

Это можно сделать шестью способами: 1155, 4155, 7155, 3150, 6150, 9150.

Задача 36:

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

Решение:

Два числа: 6975, 2970.

Задача 37:

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Решение:

Это число 1023457896.

Задача 38:

Докажите, что произведение последней цифры числа 2ⁿ и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Решение:

Разберите два случая: последняя цифра равна или не равна 6.

Задача 39:

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Решение:

Нет. Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 40:

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Решение:

7.

Задача 41:

Пусть A – сумма цифр числа 4444⁴⁴⁴⁴, а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.

Решение:

7.

Задача 42:

Докажите, что

Решение:

Указание: 10 ≡  – 1 (mod 11).

Задача 43:

Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

Решение:

Это число делится на 11.

Задача 44:

Докажите, что число – составное.

Решение:

Это число делится на 11.

Задача 45:

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что не делится на .

Решение:

делится на 11, а – нет.

Задача 46:

A – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что A не делится на 11.

Решение:

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 нельзя разбить на две тройки, разность сумм в которых делится на 11.

Задача 47:

Докажите, что разность числа, имеющего нечетное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

Решение:

Эти два числа имеют одинаковые остатки как при делении на 9, так и при делении на 11.

Задача 48:

Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Решение:

Нельзя. Проследите за последней цифрой.

Задача 49:

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Решение:

.

Задача 50:

Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

Решение:

, так как 2(a + b + c) ≡ 0 (mod 7). Значит, делится на 7 тогда и только тогда, когда b – c делится на 7. Но так как b, c < 7, то это условие равносильно тому, что b = c.

Задача 51:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.

в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.

Решение:

а) , так как 1001 делится на 7.

б), в) Число делится на 7 (13) тогда и только тогда, когда на 7 (13) делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Пример: 10345678. Образуем знакопеременную сумму: 678 – 345 + 10 = 343 – делится на 7. Значит, и исходное число делится на 7. И в самом деле, оно равно 7 • 1477954.

Задача 52:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

Решение:

Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных тройками последовательных цифр данного числа, должна делиться на 37.

Задача 53:

Существует ли такое трехзначное число , что является квадратом натурального числа?

Решение:

Нет, не существует. , где a и c – разные цифры.

Задача 54:

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на 333 … 33 (в записи 100 троек).

Решение:

Запись этого числа состоит из 300 единиц.

Задача 55:

Может ли сумма нескольких первых натуральных чисел оканчиваться на 1989?

Решение:

Нет. Рассмотрите остатки по модулю 5.

Задача 56:

Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

Решение:

Запишем наше число в виде 10a + b, где b – цифра единиц. Получим уравнение 100a + b = 9(10a + b). Отсюда 10a = 8b, т.е. 5a = 4b. Таким образом, b делится на 5. Рассмотрев два случая b = 0, b = 5, получаем единственный ответ: 45.

Задача 57:

Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.

Решение:

69.

Задача 58:

Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.

Решение:

7744 = 88².

Задача 59:

Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.

Решение:

625 и 376.

Задача 60:

К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 7.

Задача 61:

Докажите, что все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, …  являются составными.

Решение:

Домножьте число на 1111 и докажите, что результат делится на число вида 1000 …001.