Задача 15:

Докажите, что любые два треугольника со сторонами a, b и c каждый, могут быть совмещены движением плоскости.

Решение:

Совместите последовательно вершины данных треугольников.

Задача 16:

а) Если движение T оставляет вершины треугольника ABC на месте, то T есть тождественное преобразование.

б) Если оба движения T и T′ переводят вершины треугольника ABC в точки A′, B′, C′ соответственно, то T и T′ совпадают.

Решение:

а) Докажите, что любая точка D остается на месте. б) Примените результат пункта а).

Задача 17:

а) Каким движением является композиция двух параллельных переносов?

б) Докажите, что любой параллельный перенос можно представить как композицию двух симметрий относительно различных точек M и N.

в) Рассмотрим следующее движение: композицию осевой симметрии относительно прямой m и параллельного переноса на единичное расстояние параллельно прямой m. Докажите, что это движение не является ни поворотом, ни параллельным переносом, ни осевой симметрией.

Решение:

а) Это вновь параллельный перенос. б) Возьмите две параллельные прямые, перпендикулярные направлению переноса, расстояние между которыми равно половине длины переноса.

Задача 18:

Даны две равные окружности. Можно ли отобразить одну на другую поворотом?

Решение:

Да, всегда. Достаточно перевести центр в центр.

Задача 19:

Может ли поворот переводить полуплоскость в самое себя? А какая-либо симметрия?

Решение:

Только тождественный поворот. Осевая симметрия может, в отличие от центральной.

Задача 20:

Про некоторую фигуру на плоскости известно, что она самосовмещается при повороте на 48 градусов вокруг точки O. Верно ли, что она самосовмещается при повороте на 72 градуса вокруг точки O?

Решение:

Да, это верно. Убедитесь, что фигура самосовмещается при повороте на 24 градуса вокруг точки O.

Задача 21:

Через точку внутри треугольника проведите отрезок с концами на контуре треугольника так, чтобы эта точка делила отрезок пополам.

Решение:

Указание: используйте центральную симметрию.

Задача 22:

Дан угол, вершина которого не поместилась на чертеже. Постройте угол, величина которого в два раза больше величины данного угла.

Решение:

Указание: используйте параллельный перенос.

Задача 23:

В данную окружность впишите пятиугольник, стороны которого параллельны пяти данным прямым.

Вместо данных нам пяти прямых L₁, L₂, …, L₅ рассмотрим прямые K₁, K₂, …, K₅, перпендикулярные к ним и проходящие через центр нашей окружности. Тогда, как нетрудно понять, прямые L_i и AB (A и B – точки на окружности) параллельны тогда и только тогда, когда A и B симметричны относительно прямой K_i. Осталось лишь найти точку M на окружности, которая после применения к ней всех пяти симметрий – относительно K₁, K₂, …, K₅ – останется на месте. Но композиция пяти осевых симметрий – это осевая симметрия, причем ее ось также проходит через центр нашей окружности (подумайте, почему это утверждение верно). Следовательно, такая точка M есть и легко строится (как одна из точек пересечения оси симметрии и окружности).

Вопрос: В изложенном решении опущен один «тонкий» момент. Найдите его и восполните пробел.

Задача 24:

В трапеции ABCD (AD || BC) M и N – середины оснований и прямая MN образует равные углы с прямыми AB и CD. Докажите, что эта трапеция равнобочна.

Решение:

Указание: используйте параллельный перенос.

Задача 25:

На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что AP:PB = BQ:QC = CR:RD = DS:SA. Докажите, что PQRS – квадрат.

Решение:

Указание: используйте поворот на 90 градусов.

Задача 26:

На плоскости дана точка P и две параллельные прямые. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с P, а две другие лежат на этих прямых соответственно.

Решение:

Указание: используйте поворот на 60 градусов.

Задача 27:

Найти на данной прямой точку M такую, что а) сумма расстояний от M до двух данных точек минимальна; б) разность расстояний от M до двух данных точек максимальна.

Решение:

а) Если эти точки X и Y лежат по разные стороны от данной прямой L, то то M = (XY) ∩ L; если же по разные, то M = (XY₁) ∩ L, где Y₁ симметрична точке Y относительно L. б) Если X и Y – по одну сторону от L, то M = (XY) ∩ L; если по разные, то M = (XY₁) ∩ L, где Y₁ симметрична Y относительно L.

Задача 28:

Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось.

Решение:

Отразите первую ось относительно второй.

Задача 29:

Какие буквы русского алфавита имеют а) ось симметрии; б) центр симметрии ?

Решение:

а) А, В, Д, Е, Ж, З, К, Л, М, Н, О, П, С, Т, Ф, Х, Ш, Э, Ю. б) Ж, И, Н, О, Ф, Х. Конечно, здесь ответ частично зависит от написания букв.

Задача 30:

Существует ли пятиугольник, имеющий ровно две оси симметрии?

Решение:

Нет.

Задача 31:

Найдите множество M всех точек X на плоскости таких, что при данном повороте точка X переходит в точку X′ такую, что прямая XX′ проходит через данную точку S.

Решение:

Это точки, из которых отрезок OS (O – центр поворота) виден под углом 90 +  α /2 или 90 –  α /2 – уточните это ГМТ ( α  – угол поворота).