Задача 40:

Длины сторон выпуклого четырехугольника равны a, b, c и d (перечислены по часовой стрелке). Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит а) (ab + cd)/2; б) (a + b)(c + d)/4.

Решение:

а) Пусть a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|. Тогда S(ABC) ≤ ab/2, S(CDA) ≤ cd/2 и осталось лишь сложить эти неравенства. б) Используйте пункт а) и то, что четырехугольник ABCD можно, разрезав по диагонали AC и перевернув одну из частей, превратить в четырехугольник с той же площадью, но с порядком сторон a, b, d, c.

Задача 41:

Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:2:3?

Решение:

Пусть S – площадь этого треугольника, a, b и c – длины его сторон. Тогда длины высот равны 2S/a, 2S/b и 2S/c. Значит, a:b:c = 1:1/2:1/3, что, как нетрудно видеть, противоречит неравенству треугольника.

Задача 42:

Треугольник площади 1 имеет стороны с длинами a, b и c, причем a ≥ b ≥ c. Докажите, что .

Решение:

Так как bc/2 ≥ 1, то b² ≥ 2.

Задача 43:

Могут ли длины всех сторон треугольника площади 1 быть больше 1000?

Решение:

Да, такое возможно. Рассмотрите треугольник ABC, в котором , AB = BC = 1001, где – маленькое положительное число.

Задача 44:

Точки K, L, M и N – середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что 2S(KLMN) = S(ABCD).

Решение:

Разрежьте ABCD на две части диагональю AC и докажите требуемое равенство для каждой части отдельно.

Задача 45:

Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если прямая AC перпендикулярна прямой BD и AC = 3, BD = 8.

Решение:

Ответ: 12.

Задача 46:

Дан треугольник ABC. Точка A₁ лежит на продолжении стороны BC за точку C, причем BC = CA₁. Аналогично строятся точки B₁ и C₁. Найдите S(A₁B₁C₁), если S(ABC) = 1.

Решение:

Ответ: 7. Площадь каждого из трех «дополнительных» треугольников равна 2 – докажите это.

Задача 47:

Точка M лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что площади треугольников ABM и BCM тогда и только тогда, когда M лежит на медиане BK.

Решение:

Равенство площадей равносильно равенству высот, опущенных из A и C соответственно на BM, а это ввиду наличия соответствующих равных треугольников, равносильно тому, что точка пересечения (BM) и [AC] делит [AC] пополам.

Задача 48:

Если два выпуклых четырехугольника расположены так, что середины сторон у них совпадают, то их площади равны. Докажите это.

Задача 49:

Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD равновелики.

Решение:

Докажите, что треугольники ABD и ACD равновелики.

Задача 50:

Докажите, что сумма расстояний от точки, находящейся внутри правильного треугольника, до его сторон не зависит от положения точки.

Решение:

Если дана точка O в равностороннем треугольнике ABC, то можно подсчитать площадь треугольника ABC как сумму площадей треугольников OAB, OBC и OAC, опуская перпендикуляры из O на стороны треугольника.