Задача 48:

Сколько ожерелий можно составить из 5 одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?

Решение:

3

Задача 49:

а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить 4 человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете ?

Решение:

а) ; б) 30 • 29 • 28 • 27 = 657720.

Задача 50:

Сколько можно составить шестибуквенных слов (слово – это произвольная последовательность букв), содержащих хотя бы один раз букву А, если можно использовать все 33 буквы алфавита?

Решение:

Перейдите к дополнению. Ответ: 33⁶ – 32⁶ = 217726145.

Задача 51:

Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?

Решение:

5! = 120.

Задача 52:

Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,

а) если каждая цифра может встречаться только один раз?;

б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

Решение:

Переберите возможные варианты двух последних цифр. а) 2 • 2 + 2 = 6; б) 2 • 2 • 4² = 64.

Задача 53:

У отца 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней он выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение:

Задача 54:

Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?

Решение:

.

Задача 55:

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

Решение:

На каждом месте каждая из цифр встречается 4² = 16 раз. Ответ: 17760.

Задача 56:

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

Решение:

Число 6 представляется в виде суммы четырех натуральных слагаемых двумя способами: 6 = 1 + 1 + 1 + 3, 6 = 1 + 1 + 2 + 2. Ответ: .

Задача 57:

Сколькими способами можно разложить 3 рублевых купюры и 10 полтинников в 4 различных пакета?

Решение:

.

Задача 58:

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Решение:

10 + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ = 597871.

Задача 59:

Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой половине было по 2 туза?

Решение:

.

Задача 60:

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1 × 30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.

а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?

б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за 7 ходов?

Решение:

а) Она может побывать или не побывать на каждом из 28 некрайних полей. Ответ: 2²⁸. б) Надо представить число 29 в виде суммы 7 натуральных слагаемых (порядок важен!). Ответ: . (61) .

Задача 61:

На каждом борту лодки должно сидеть по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

Решение:

.

Задача 62:

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами (p,q).

Решение:

Каждый прямоугольник однозначно определяется своим левым нижним и правым верхним углами. Ответ: pq(n – p + 1)(m – q + 1).

Задача 63:

Имеется куб размером 10 × 10 × 10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причем так, чтобы расстояние до точки О увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Решение:

Из условия задачи следует, что кузнечик должен совершить всего 27 прыжков – по 9 в каждом направлении. Обозначим направления буквами A, B и C. Каждый путь однозначно определяется последовательностью длины 27, в которой буквы A, B и C встречаются по 9 раз. Ответ: 27!/(9!)³.