Задача 1:

Какое число больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

Решение:

31¹¹ < 32¹¹ = (2⁵)¹¹ = 2⁵⁵ < 2⁵⁶ = (2⁴)¹⁴ = 16¹⁴ < 17¹⁴. Вот такая цепочка неравенств сразу дает нам результат: 31¹¹ меньше, чем 17¹⁴. Единственное, что нам было необходимо для решения – это подметить, что числа 31 и 17 находятся «рядом» со степенями двойки.

Задача 2:

Что больше

а) 2³ºº или 3²ºº?

б) 2⁴⁰ или 3²⁸?

в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

Решение:

а) 3² = 9 > 8 = 2³, и значит, 3²ºº > 2³ºº.

б) 2¹º = 1024 < 2187 = 3⁷, и значит, 2⁴⁰ < 3²⁸.

в) 4⁵³.

Задача 3:

Докажите, что 2¹ºº + 3¹ºº < 4¹ºº.

Решение:

2¹ºº < 3¹ºº и значит, нам достаточно доказать, что 2 • 3¹ºº < 4¹ºº или, что . Но даже уже больше, чем 2.

Задача 4:

Что больше: 7⁹² или 8⁹¹?

Решение:

8⁹¹ > 7⁹².

Задача 5:

Докажите, что 4⁷⁹ < 2¹ºº + 3¹ºº < 4⁸⁰.

Решение:

Так как 2 • 3¹ºº > 2¹ºº + 3¹ºº, то нам достаточно доказать, что 4⁸⁰ > 2 • 3¹ºº, или .

Так как нам известно неравенство Бернулли (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx при x ≥  – 1, n ≥ 1, то хотелось бы выяснить, правда ли, что . Это на самом деле так (проверьте!). Следовательно, . Осталось доказать, что 2¹ºº + 3¹ºº > 4⁷⁹. Докажем, что 3¹ºº > 4⁷⁹. Для этого нужно доказать, что 4⁸⁰/3¹ºº < 4. Построим следующую цепочку неравенств:

Задача 6:

Найдите все степени чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, лежащие в промежутке от 1 до 10000 и выстройте их по порядку. Найдите среди них пары чисел, разность между которыми не превосходит 10.

Решение:

|2³ – 3²| = 1, |3³ – 5²| = 2, |6² – 2⁵| = 4, |3³ – 2⁵| = 5, |2⁷ – 5³| = 3, |11² – 5³| = 4, |11² – 2⁷| = 7.

Задача 7:

Что больше: 1234567 • 1234569 или 1234568²?

Решение:

Обозначим число 1234568 через x. Тогда левое выражение превратится в (x – 1)(x + 1) = x² – 1 < x². Таким образом, отпала необходимость перемножать и возводить в квадрат семизначные числа.

Задача 8:

Что больше: 10 … 01/10 … 01 или 10 … 01/10 … 01? (в каждой из дробей число в знаменателе имеет на один ноль в записи больше, чем число в числителе; при этом слева в верхнем числе 1984 нуля, а справа – 1985).

Решение:

Обозначим число в числителе через x. Тогда вся дробь равна a = x/(10x – 9), 1/a = 10 – 9/x. Отсюда видно, что чем больше x, тем меньше a. Итак, первая дробь больше.

Задача 9:

Что больше: 1234567/7654321 или 1234568/7654322?

Решение:

Ответим на более общий вопрос: когда x/y больше, чем (x + 1)/(y + 1)? Выясним это при положительных x и y:

Следовательно, все зависит от того, что больше: x или y. В данном случае y > x и потому 1234568/7654322 – большее из двух данных чисел.

Задача 10:

Какое число больше: 100¹ºº или 50⁵⁰ • 150⁵⁰?

Решение:

100¹ºº – больше, так как 100² > 150 • 50.

Задача 11:

Что больше: (1.01)¹ººº или 1000?

Решение:

(1.01)¹ººº > 1000. В самом деле, (1.01)⁸ > 1.08; (1.01)¹ººº = ((1.01)⁸)¹²⁵ > (1.08)¹²⁵. Далее, (1.08)⁵ > 1.4; (1.01)¹ººº > (1.4)²⁵ > (1.4)²⁴ > (2.7)⁸ > 7⁴ = 2401 > 1000, что и требовалось доказать.

Задача 12:

Докажите, что

Решение:

Разобьем слагаемые на пары:

Что мы получим в начале этой суммы, состоящей, заметьте, только из положительных чисел? Очевидно, 1/6 + 1/20 + 1/42 +  …  Но уже 1/6 + 1/20 > 1/5, откуда и следует требуемый результат.

Задача 13:

(почти шутка). Если к числу 100 применить 99 раз операцию «факториал», то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию «факториал», то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?

Решение:

Поскольку 99! > 100, то A < B.

Задача 14:

Сколько цифр у числа 2¹ººº?

Задача 15:

Найдите наибольшее из чисел 5¹ºº, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

Задача 16:

diff. Рассмотрим число . Докажите, что оно а) меньше 1/10; б) меньше 1/12 ; в) больше 1/15.