Задача 17:

Докажите, что при x ≥ 0.

Решение:

.

Задача 18:

Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.

Решение:

, ч.т.д.

Задача 19:

Докажите, что (x² + y²)/2 ≥ xy при любых x и y.

Решение:

Перегруппировав члены, получаем (x – y)² ≥ 0.

Задача 20:

Докажите, что 2(x² + y²) ≥ (x + y)² при любых x и y.

Решение:

Перегруппировав члены, получаем (x – y)² ≥ 0.

Задача 21:

Докажите, что 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) при x,y > 0.

Решение:

Приводим к общему знаменателю и получаем (x – y)² ≥ 0.

Задача 22:

Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx при любых x, y, z.

Решение:

Запишем три неравенства:

Сложив их, мы и получим требуемое неравенство.

Задача 23:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

Решение:

Надо перемножить три неравенства: , , .

Задача 24:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что .

Решение:

.

Задача 25:

Докажите, что x² + y² + 1 ≥ xy + x + y при любых x и y.

Решение:

x² + y² + 1 – xy – x – y = ((x – y)² + (x – 1)² + (y – 1)²)/2 ≥ 0.

Задача 26:

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Решение:

Воспользуемся неравенством x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx, причем дважды:

Задача 27:

Докажите, что x⁴ + y⁴ + 8 ≥ 8xy при любых x и y.

Решение:

.

Задача 28:

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что

Решение:

; . Осталось лишь перемножить неравенства.

Задача 29:

a, b, c – положительные числа. Докажите, что

Решение:

.

Задача 30:

Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство 3x³ – 6x² + 4 ≥ 0.

Решение:

Докажем, что 3x³ + 4 ≥ 6x². Но 3x³ + 4 = 2x³ + x³ + 4. Применяя неравенство Коши, получаем

ч.т.д.

Задача 31:

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство .

Задача 32:

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство ab/c + ac/b + bc/a ≥ a + b + c.

Задача 33:

Докажите, что при a, b, c ≥ 0 имеет место неравенство ((a + b + c)/3)² ≥ (ab + bc + ca)/3.

Задача 34:

Докажите, что при a, b, c ≥ 0 имеет место неравенство (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c).

Задача 35:

Сумма трех положительных чисел равна шести. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

Задача 36:

Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство .

Задача 37:

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Задача 38:

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, т.е. докажите, что при a, b, c, d, e ≥ 0 имеет место неравенство

Решение:

Указание. Докажите сначала неравенство Коши для восьми чисел, а затем воспользуйтесь той же идеей, что и при доказательстве неравенства Коши для трех чисел.