Задача 1:

В какой системе счисления справедливо равенство 3 • 4 = 10?

Решение:

В 12-ричной.

Задача 2:

Существует ли система счисления, в которой одновременно

а) 3 + 4 = 10 и 3 • 4 = 15;

б) 2 + 3 = 5 и 2 • 3 = 11?

Решение:

а) Да (7-ричная система счисления). б) Нет. Второе равенство могло бы выполняться только в 5-ричной системе счисления.

Задача 3:

Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записи

а) в троичной системе счисления;

б) в системе счисления с основанием n.

Решение:

Число четно тогда и только тогда, когда а) в его троичной записи четное число единиц (сумма цифр четна). б) его n-ичная запись оканчивается четной цифрой при четном n, сумма цифр четна при нечетном n.

Задача 4:

На доске сохранилась полустертая запись

Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.

Решение:

23451 + 15642 = 42423. 7-ричная система счисления.

Задача 5:

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

Решение:

Пусть n – основание системы счисления. Тогда n² = (2n + 4) + (3n + 2), то есть n² – 5n – 6 = 0. Отсюда n =  – 1 или n = 6. Ответ: n = 6.