Задача 1: Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, три пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?

Задача 2: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж 3-х рублевыми ассигнациями, Коля – 5-ти рублевыми, а всего они дали в кассу меньше 15 купюр?

Задача 3: а) a + 2 делится на 5, докажите, что 7a + 4 делится на 5; б) 2000 + a и 999 – b делятся на 11, докажите, что a + b делится на 11.

Задача 4: Доказать а) если сумма любых двух из трёх чисел делится на 3, то и сумма всех трёх чисел делится на 3; б) если сумма любых трёх из четырёх чисел делится на 4, то и каждое число делится на 4; в) сформулируйте и докажите утверждение б) для n чисел.

Задача 5: Докажите, что число, составленное из пятидесяти пяти единиц, является составным.

Задача 6: На новом супер-калькуляторе есть только три кнопки: «умножить на 7», «прибавить 27» и «вычесть 12". Можно ли на этом калькуляторе из числа 6 получить число 1? Какие числа можно получить из числа 6?

Задача 7: Докажите, что числа вида делятся и на 3 и на 37.

Задача 8: Петя и Вася задумали по трёхзначному числу, затем каждый приписал к нему такое же число. У полученного шестизначного числа они выписали все натуральные делители. Докажите, что не менее 8 чисел в их списках совпало.

Задача 9: Делится ли число 77…77 (666 семерок) на 13?

Задача 10: При каких n число 88…88 (n восмерок) делится на 91?

Задача 11: Дана полоска из 6 клеток. Петя и Вася по очереди записывают в клетки цифры. Если полученное число делится на 91, то выигрывает Вася, если нет, то Петя. Всегда ли Вася сможет победить? А если полоска состоит из 12 клеток?

Задача 12: У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, еще один снова отпирает и т.д. К празднику царь решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручку на дверях каждой камеры. Все двери оказались отперты. Но тут пришел второй посыльный и повернул ручку каждой второй камеры. Двери камер 2, 4, 6, … вновь оказались заперты. Следующий посланец повернул ручки камер 3, 6, 9, 12 и т.д. Еще один – в каждой четвертой камере. То же повторяли следующие посланцы вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Наконец наступил праздник, и сидевшие в открытых камерах вышли на свободу. Сколько пленников освободил Дадон?

Задача 13: Делится ли 2⁹ × 3 на 2? А на 5? На 6? Делится ли 2² × 3³ × 5⁵ на 120?

Задача 14: Число a не делится на 3. Может ли делится на 3 число 2a?

Задача 15: Число a чётно. Верно ли, что число 3a делится на 6?

Задача 16: Число 5a делится на 3. Верно ли, что a делится на 3?

Задача 17: Если число a делится на 3 и на 4, то следует ли отсюда, что оно делится и на 12? А если a делится на 4 и на 6, то следует ли отсюда, что оно делится на 24?

Задача 18: Число 15a делится на 6. Верно ли что a тоже делится на 6?

Взаимно простые числа. Обобщить результат задач 5 и 6: если a делится на m и на n, m и n взаимно просты, то a делится на mn; если ap делится на q, p и q взаимно просты, то a делится на q.

Задача 19: Известно, что a + 15 делится на 5. Делится ли a на 5?

Задача 20: Если число a делится на 3 и b делится на 3, верно ли, что тогда сумма a и b делится на 3? А разность a и b?

Задача 21: Вспомнить некоторые свойства делимости:

а) и , то .

б) , и , то и .

в) и , то и .

Задача 22: Сколько существует двузначных чисел, которые делятся на 5? А трёхзначных, которые делятся на 7?

Решение: 18, 128.

Задача 23: Доказать, что произведение а) любых двух последовательных натуральных чисел делится на 2; б) трёх любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 24: А что можно сказать про произведения четырёх, пяти, n идущих подряд чисел?

Задача 25: Доказать, что для любого n > 2 а) сумма первых n натуральных чисел – составное число; б)* сумма любых n последовательных натуральных чисел – составное число.

Задача 26: Разложите на простые множители 2000, 2001, 1999.

Задача 27: Сколько делителей у числа 2⁵ × 3³ × 5²? А у чисел 2000, 2001, 1999?

Задача 28: Сколько делителей у чисел 1, 4, 9, 16, 25; а у чисел 5, 10, 15, 24? Сравните количество делителей.

Задача 29: Может ли в разложении числа n² на простые множители содержаться ровно 5 «троек»?

Задача 30: Делится ли 11! + 12! на 13?

Задача 31: На сколько нулей заканчивается 200!,?

Задача 32: Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Задача 33: Каково наименьшее натуральное n такое, что n! делится на 1999, 2000, 2001?