Задача 1: Существует ли такая тройка натуральных чисел, что любые два из них имеют общий делитель, больший единицы, но общим делителем для всех трёх чисел является только 1?

Задача 2: Можно ли монетами в 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

Решение: Нельзя, так как 1999 не кратно НОД(14,35).

Задача 3: В банк можно положить за один раз 120 руб. или снять 300 руб. У кого-то есть 1000 руб. Какую наибольшую сумму кто-то может положить в банк за несколько раз?

Решение: 960. Оценка получается из делимости. Снять и положить можно только числа, делящиеся на 60 (120 = 60 × 2, 300 = 60 × 5), максимальное число, меньшее 1000 и делящееся на 60 – это 960. Пример: кладём 3 раза по 300, снимаем 2 раза по 120 и кладём 300.

Задача 4: a = 2³ • 3¹º • 5 • 7² , b = 2⁵ • 3 • 11. Чему равен  НОД (a,b)?

Решение: НОД – это общая часть разложений.

Задача 5: a = 2⁸ • 5³ • 7 , b = 2⁵ • 3 • 5⁷. Чему равен ?

Решение: НОК – это объединение разложений.

Задача 6: Про натуральные числа a и b известно, что 15a = 14b и что  НОД (a,b) = 13. Найдите a и b.

Задача 7: Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство

Задача 8: Докажите, что если a и b – натуральные числа (a > b), то  НОД (a,b) =  НОД (a – b,b)

Задача 9: Может ли наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равняться их сумме?

Решение: Пусть такие числа x и y существуют. делится на x и на y. Тогда x + y делится на x и на y, значит, x делится на y и y делится на x, поэтому x = y. Но тогда , что противоречит предположению.

Задача 10: Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?

Решение: Да, например, 6 = 1 + 2 + 3.

Задача 11: НОД двух натуральных чисел в восемь раз меньше, чем их НОК. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.

Задача 12: Даны 6 натуральных чисел. Могут ли среди их попарных НОДов встречаться все натуральные числа от 1 до 15?

Решение: Нет. Так как какие-то числа имеют НОДы, равные 7 и 14, то есть не менее трёх чисел, кратных 7. Но тогда существует третий НОД, кратный 7, а среди чисел от 1 до 15 такого нет. (Аналогичное рассуждение проходит по делимости на 2).

Задача 13: Разность двух нечётных чисел является степенью двойки. Докажите, что они взаимно просты.

Решение:  НОД (a,b) =  НОД (a,a – b) =  НОД (a,2^k).

Задача 14: Известно, что (n – 1)! + 1 делится на n. Докажите, что число n – простое.

Решение: Если n – составное, то (n – 1)! делится на n.

Задача 15: В результате некоторой перестановки цифр число уменьшилось в три раза. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Задача 16: Найдите все такие натуральные a, что число а) ; б) ; в)  – тоже целое.