Задача 1: Коридор длины 6 м покрыт тремя трёхметровыми ковровыми дорожками, причём нигде дорожки не лежат в три слоя. Докажите, что какие-то две из них перекрываются не меньше, чем на 1,5 м.

Решение: Занумеруем дорожки слева направо. Закрасим все такие участки, где первая дорожка перекрывается со второй, а вторая с третьей. Суммарная длина таких перекрытий равна 3 м: три дорожки длины 9 м должны уместиться на коридоре длины 6 м. Следовательно, какое-то из этих трёх перекрытий не меньше 1,5 м (а какое-то другое – не больше 1,5 м).

Задача 2: Окружность длины 6 м покрыта тремя трёхметровыми дугами, причём никакие три дуги не имеют общих точек. Докажите, что какая-то пара дуг имеет пересечение не меньше, чем 1 м.

Задача 3: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади 3 кв.м каждый. Верно ли, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей 1 кв.м.?

Решение: Будем считать, что сначала на пол положен первый ковёр, затем второй, затем третий, то есть ковёр с меньшим номером не может лежать на ковре с большим номером. Суммарная площадь ковров равна 9, площадь ковров, лежащих непосредственно на полу, не больше 6, значит, часть ковров площадью не меньше 3 лежит на других коврах.

Эта площадь складывается из:

1) части третьего ковра, лежащей непосредственно на втором,

2) части третьего ковра, лежащей непосредственно на первом

3) части второго ковра, лежащей на непосредственно на первом.

Отсюда следует, что одна из этих частей не меньше 1.

Задача 4: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади S кв.м каждый. Известно, что S > 2. Докажите, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей S – 2 кв.м.

Задача 5: В комнате площадью 6 кв.м на полу постелены 4 ковра площади 2 кв.м каждый. Верно ли, что какие-то два из них обязательно перекрываются по площади, не меньшей 1 кв.м?

Решение: Нет, неверно. Контрпример строится очень легко.

Задача 6: Внутри квадрата со стороной 1 расположены 4 прямоугольника, площадь каждого из которых не менее 1/2. Докажите, что хотя бы два из них имеют общую часть площади не менее 1/6.

Задача 7: На кафтане площади 1 расположены 4 заплаты, площадь каждой из которых не менее 5/8. Докажите, что какие-то две из них имеют общую часть площади не менее 1/3.

Решение: «Излишек» площади состоит из 6 ( = 4 • 3/2) попарных пересечений (при этом возможны тройные и четверные пересечения). Обозначим через S₁ площадь, покрытую только один раз, S₂ – площадь двойных пересечений, через S₃ – площадь тройных и через S₄ – площадь четверных пересечений. Сумма всех площадей попарных пересечений равна S₂ + 3S₃ + 6S₄. С другой стороны, по условию S₁ + 2S₂ + 3S₃ + 4S₄ ≥ 4 • 5/8 = 2.5. Умножая это неравенство на 2 и вычитая очевидное условие 3(S₁ + S₂ + S₃ + S₄) ≤ 3 (квадрат не обязательно покрыт целиком!), получаем неравенство  – S₁ + S₂ + 3S₃ + 5S₄ ≥ 2. Следовательно, S₂ + 3S₃ + 6S₄ ≥ 2 и какое-то из попарных пересечений заплат не меньше 2/6.

Задача 8: На спортивные соревнования в ЛМШ ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу – 26, пионерболу – 32, футболу – 31, шахматам – 28 и теннису – 36 человек. 53 школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника участвовали 3 или более раз, 9 школьников – не менее 4 раз и 3 школьника – даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях). Сколько из школьников были зрителями?

Решение: Это классическая задача на «круги Эйлера» и формулу включений и исключений – в ней необходимо тщательно разобраться с составом участников соревнований. В сумме в них были 30 + 26 + 32 + 31 + 28 + 36 = 183 школьника. Число школьников, игравших хотя бы один раз, равно 183 – 53 – 24 – 9 – 3 – 1 = 93. Оставшиеся 127 школьников были зрителями.

Задача 9: На кафтан площади 1 поставлены 5 заплат. Площадь каждой из них равна 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, пересекающиеся по площади не менее 1/5.

Решение: Обозначим через x_k площадь части кафтана, покрытую ровно k заплатами (k = 0, 1, …, 5). По условию площадь кафтана равна 1, а сумма площадей заплат – 5/2: S₀ = x₀ + x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 1,S₁ = x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = 5/2. Сумма площадей всех 10 попарных пересечений заплат равна S₂ = x₂ + 3x₃ + 6x₄ + 10x₅. Оценим ее: S₂ ≥  – 3x₀ – x₁ + x₂ + 3x₃ + 5x₄ + 7x₅ = 2S₁ – 3S₀ = 2, поэтому хотя бы одно из 10 попарных пересечений будет по площади не меньше 2/10. Равенство возможно, только если x₀ = x₁ = x₄ = x₅ = 0 и все 10 попарных пересечений равны по площади!

Задача 10: На кафтане площади 1 имеется 5 заплат площади 1/3. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/15.

Задача 11: На кафтане площади 1 имеется 9 заплат площади 1/5. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/45.