Задача 1: От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно? У какой из мух выше средняя скорость движения?

Решение: Первая муха, конечно, приползёт раньше. Пока вторая муха доберётся до верха, первая успеет сползать туда и обратно (так как её скорость в это время в два раза больше).

Задача 2: Двое одновременно отправились из A в B. Первый поехал на велосипеде, второй – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в B?

Решение: Велосипедист, двигается в два раза быстрее пешехода, поэтому может проехать весь путь за время, которое потребуется пешеходу на половину пути. Но в момент, когда пешеход стартовал, велосипедист уже проехал некоторое расстояние, Поэтому велосипедист приехал раньше

Задача 3: Группа туристов должна была прибыть на вокзал в 5 ч. К этому времени с турбазы за ними должен был прийти автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3 ч 10 минут, туристы пошли пешком на турбазу. Встретив на дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 20 минут раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?

Решение: 6 км/ч. Туристы сэкономили 20 минут, за это время автобус дважды проехал бы путь, который они прошли, а шли они 100 минут.

Задача 4: Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A на встречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

Решение: Пусть до встречи пешеход прошел расстояние в x метров. Тогда велосипедист до встречи проехал 5x метров. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошел 2x метров и ему осталось еще пройти 5x – x = 4x метров, на которые он потратил 30 минут. Следовательно, на каждые 2x метров он тратил 15 минут, а все расстояние между пунктами A и B x + 5x = 6x пешеход преодолел за 45 минут.

Задача 5: Пароход шел от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Решение: Пусть одновременно из Нижнего вышли плоты и пароход. Если за систему отсчета взять Волгу, то за пять суток пароход отплыл от плотов, а затем за пять суток к ним вернулся. То есть за 10 суток плоты прошли столько, сколько пароход за двое суток проходит против течения, следовательно, плоты будут в пути 35 суток. Основная идея: сменить систему отсчета.

Задача 6: Пловец плывет вверх против течения Невы. Возле Дворцового моста он потерял пустую фляжку. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил потерю и вернулся догонять флягу; догнал он ее возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

Решение: 3 км/ч

Задача 7: Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шел со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так она бегала до тех пор, пока охотники не встретились. Сколько километров она пробежала?

Решение: До встречи охотников пройдёт два часа, за это время собака пробежала 16 км.

Задача 8: Андрей ведет машину со скоростью 60 км/ч. Он хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее. На сколько ему следует увеличить скорость?

Решение: Не слишком ли многого он хочет? Он и так на километр тратит только минуту времени.

Задача 9: Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км. Следует ли из этого, что его средняя скорость равна 5 км/час?

Решение: Пусть он идёт по такому графику: переходы по полчаса со скоростью 10 км/ч и привалы по полчаса. Тогда за 3,5 часа он пройдёт 20 км, и его средняя скорость равняется 20/3,5 = 35/7 км/ч.