Задача 1: В двух кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для второго игрока.

Решение: Второму игроку достаточно повторять ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, только после ходов второго в количество предметов в кучках становится равным, следовательно, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, также может наступить только после хода второго, а, значит, он не проиграет. Поскольку с каждым ходом количество предметов в кучках уменьшается, игра закончится, и так как второй не проиграет – он выиграет.

Задача 2: В трёх кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для первого игрока.

Решение: Забирая все предметы из одной кучки, первый сводит игру к игре «две кучки по 100», в которой он играет уже вторым.

Задача 3: Два миллионера по очереди кладут пятаки на круглый стол, так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Как надо играть миллионеру, который кладёт первый пятак, чтобы наверняка выиграть?

Решение: Выигрывает первый. Первый ход – положить пятак в центр стола, и дальше симметрия.

Задача 4: Двое по очереди разламывают шоколадку. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1. Кто выигрывает при правильной игре, если шоколадка имеет размеры а) 10 × 10; б) 10 × 13. в) шоколадка 10 × 13, но первый получивший дольку 1 × 1 выигрывает.

Решение: Всюду выигрывает второй, разделив шоколадку на две, и далее действуя симметрично. В пункте в)  надо играть симметрично до предпоследнего момента.

Задача 5: Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8 × 8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре, и как ему при этом нужно играть?

Решение: Выигрывает второй. Симметрия относительно вертикальной оси или относительно центра.

Задача 6: У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение: В обоих случаях выигрывает второй. Своим первым ходом он разбивает лепестки на две одинаковых группы, а дальше действовать симметрично. В а) проходит и тривиальная центрально-симметричная стратегия.

Задача 7: Доска 8 × 8. За ход можно положить доминошку на любое свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Решение: Выигрывает второй, стратегия – центральная симметрия.

Задача 8: В каждой клетке доски а) 11 × 11 б) 11 × 12 в) 12 × 12 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Решение: В а) выигрывает первый. Например, первым ходом он снимает центральную шашку и дальше действовует центральносимметрично. В б) первым ходом нужно снять всю центральную (шестую) вертикаль, а дальше действовать осесимметрично. (Эта же стратегия проходит и в задаче а)). И, наконец, в в) можно сразу действовать центральносимметрично, поэтому выигрывает второй.

Задача 9: Для игры «щелк» требуется прямоугольная шоколадка (в этой задаче – шоколадка 8 × 8). За ход разрешается съесть произвольную дольку и все находящиеся справа и сверху от неё. Проигрывает тот, кто съедает левую нижнюю дольку.

Решение: Выигрывает первый. Он должен первым ходом съесть квадрат 7 × 7, и далее действовать симметрично.

Задача 10: Двое играют в следующую игру: первый выбирает любое поле на доске 8 × 8, ставит туда короля и делает ход (король может ходить в соседние и соседние по диагонали клетки), при условии, что на эту клетку раньше никто не вставал. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Выигрывает второй. Клетки разбиваются на пары стоящих рядом (например на доминошки), и как только первый поставил короля на одну из клеток пары, второй ходит на другую.