Задача 1: Две свечи одинаковой длины зажглись одновременно. Первая может гореть 2 часа, а вторая 8 часов. Через сколько часов одна будет в 2 раза длиннее другой?

Задача 2: В Эрмитаже 2 лестницы. Высота первой 13 метров, а ее длина (по горизонтали) – 20 метров; у второй соответственно 11 и 22 метра. Обе лестницы покрыты ковровыми дорожками. Какая из дорожек длиннее, если на первой лестнице ступенек вдвое меньше, чем на второй?

Задача 3: Доказать, что 1! + 2! + 3! +  …  + n! не делится на 5 ни при каком натуральном n.

Задача 4: Из 11 шаров 2 радиоактивных. За одну проверку про любую кучку шаров можно узнать, есть ли в ней радиоактивный шар, но при наличии такого шара нельзя узнать, сколько их – один или два. Как за 7 проверок найти оба радиоактивных шара?

Задача 5: На доске выписаны целые числа от 1 до 14, каждое по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма точный квадрат, то выигрывает второй, иначе первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Выигрывает второй. Он может разбить числа на пары следующим образом: (1, 8); (2, 14); (3, 13); (4, 12); (5, 11); (6, 10); (7, 9). Теперь достаточно брать число из той же пары, из которой только что взял соперник.

Задача 6: Фигура «заяц» ходит либо на одну клетку вниз, либо на одну клетку по диагонали вправо-вверх, либо на одну клетку по диагонали влево-вверх. а) Может ли заяц обойти доску 7 × 7, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? б) За какое наименьшее число ходов «заяц» может обойти доску 7 × 7 и вернуться на исходное поле?

Задача 7: За круглым столом сидит 100 человек, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый из сидевших сказал: «Сидящий справа от меня и двое сидящих сразу за ним – лжецы.» Сколько лжецов сидит за столом?

Решение: 75 лжецов. Назовем рыцарем человека, который говорит всегда только правду. Заметим, что за столом не могут сидеть только лжецы, так как в этом случае каждый из них говорит правду. Поэтому за столом есть и рыцари. Рассмотрим одного из них. Справа от него по кругу должны сидеть три лжеца. Рассмотрим его правого соседа-лжеца. Справа от него уже сидит два лжеца. Если третий по счету тоже будет лжецом, то это означает, что первый лжец говорит правду. Следовательно, такого быть не может, и третий по кругу будет рыцарем. За этим рыцарем должно сидеть два лжеца и так далее. Получается, что каждый четвертый за этим столом – рыцарь, а так как за столом всего 100 человек, что кратно 4, то получаем 100/4 = 25 рыцарей и 100 – 25 = 75 лжецов.

Задача 8: Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, не делилась на 3, а сумма любых двух рядом стоящих чисел была нечётной? Каждое число можно использовать ровно один раз?

Решение: Четные и нечётные числа должны чередоваться, а по делимости на 3 чётные числа 2, 4, 8 и 10 должны стоять через одно от числа 6, что невозможно.