Задача 1:
Поле для игры в «морской бой» имеет форму квадрата размером
8 × 8 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму
прямоугольника 1 × 4. В клетках поля можно установить детекторы,
показывающие, накрывает ли корабль эту клетку. Какое наименьшее число
клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно
было однозначно определить положение корабля?
Задача 2:
а) Стороны и диагонали шестиугольника раскрасили в два цвета.
Докажите, что образовался хотя бы один одноцветный треугольник,
вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника.
б) Как раскрасить стороны и диагонали пятиугольника в два цвета так,
чтобы не образовалось ни одного одноцветного треугольника?
Задача 3:
Про учеников школы, которые участвовали в районной
олимпиаде, известно:
1) 7 из них справились с задачами и по математике и по
физике;
2) 11 из них справились с задачами по математике;
3) 9 из них справились с задачами по физике.
Сколько учеников принимали участие в районной олимпиаде и
справились хоть с чем-нибудь?
Решение:
13
Задача 4:
Из A в B выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из
B в A выехал велосипедист. Через 20 минут после начала движения
мотоциклист проехал на 2 км больше половины пути, а еще через 10 минут
после этоговелосипедисту осталось проехать 3 км до середины пути.
Через сколько минут после начала движения встретились мотоциклист и
велосипедист?
Задача 5:
В фирме «Рога и копыта» работает 1111 сотрудников. Каждый из
них обязан отработать на уборке территории 7 дней подряд в году.
Доказать, что а) существовал хотя бы один день, когда на уборке
территории работало нечётное число сотрудников; б) таких дней
существовало как минимум 7.
Задача 6:
Найти хотя бы одно натуральное число, которое оканчивается на
17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17.
Задача 7:
Два мудреца написали на карточках числа от 5 до 11 и перемешали
их, после чего первый взял себе три из них, второй – две, а
оставшиеся две мудрецы спрятали в мешок. Первый, посмотрев на свои
карточки, воскликнул: «Я точно знаю, что сумма чисел на твоих
карточках чётна!» Какие числа написаны на карточках первого?
