Задача 1: На озере расцвела одна лилия. Каждый день число ее цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Решение: Начнём с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

Задача 2: Мама послала Алешу в магазин за покупками, вручив ему кошелек с деньгами. Половину денег Алеша уплатил за молоко и сыр. Доехав за 3 р. на автобусе до магазина, половину оставшихся денег и еще 1 р. он уплатил за книгу. На половину того, что еще осталось, Алеша купил тетрадей. Выйдя из магазина, он купил мороженое за 4 р., оставив деньги лишь на обратный проезд на автобусе. Сколько денег мама дала Алеше?

Решение: Так как нам известно количество денег перед последней покупкой, то задачу проще решать с конца. После покупки тетрадей у Алеши осталось 7 р., значит, за тетради он заплатил 7 р. Тогда 14 р. вместе с 1 р. – это половина денег, бывших у Алеши до покупки книги. Тогда до покупки книги у него было 30 р. Поэтому после покупки молока и сыра у Алеши оставалось 33 р., а это половина первоначальной суммы. Т.е. мама дала Алеше 66 р.

Задача 3: 48 спичек разложены по трем кучкам. Известно, что если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имеется, а затем из этой второй переложить в третью столько, сколько в этой третьей находится и, наконец, из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда находиться, то число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

Решение: Эту задачу также проще решать с конца. Так как после всех перекладываний число спичек в кучках стало одинаковым, то в каждой кучке их оказалось 48:3 = 16 штук. Перед этим в первой кучку добавили столько спичек, сколько в ней было, т.е. 8 штук. Эти 8 спичек взяли из третьей кучки, т.е. там перед последним перекладыванием было 16 + 8 = 24 спички. Но эти 24 спички мы получаем перекладыванием из второй кучки в третью такого количества спичек, какое в третьей кучке уже было. Т.е. удвоением спичек. Значит до второго перекладывания в третьей кучке было 12 спичек, а во второй 16 + 12 = 28 спичек. Рассуждая аналогично получаем, что во второй кучке 14 спичек, а в первой 8 + 14 = 22 спички.

Ответ: Первоначально в первой кучке было 22 спички, во второй – 14, а в третьей – 12.

Задача 4: Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

Решение: 10

Задача 5: Микрокалькулятор позволяет делать с введённым в него числом две операции: умножать на 2 или переставлять его цифры. Можно ли получить из числа 1 число 68?

Задача 6: В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается. Через три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактериями была заполнена четверть колбы?

Решение: Через 2 часа 58 минут.

Задача 7: Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?

Решение: 127.

Задача 8: Клетчатая доска 8 × 8 выложена плитками домино 1 × 2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат из четырёх клеток.

Задача 9: Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

Решение: 81

Задача 10: По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все они равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, в случае если они равны, и 1 в противном случае. Далее старые числа стираются. Могут ли в конце все числа оказаться равными?

Решение: Нет, не могут

Задача 11: За столом сидят 7 гномов, перед каждым – кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?

Решение: 6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7 и 0.

Задача 12: На большой клетчатой доске стоят (живут) несколько шашек. За один ход некоторые шашки убираются с доски (умирают), кроме того на некоторых клетках шашки появляются (рождаются). Рождение и смерть происходят одновременно на всех клетках по следующим законам:

• Живая шашка умирает, если у неё меньше двух или больше трёх живых соседей (по стороне или углу).

• Шашка рождается в клетке, если у этой клетки три соседа (по стороне или углу).

Оказалось, что на доске шашки стоят так, как показано на рисунке. Какое положение шашек могло быть за ход до этого?