Задача 1:

Найдите как можно больше натуральных чисел, десятичная запись которых не заканчивается нулями, и которые при вычеркивании некоторой одной (но не первой) цифры уменьшаются в целое число раз.

Задача 2: Разбейте прямоугольник 1 × 3 на возможно меньшее число квадратов так, чтобы среди них не нашлось трех равных.

Задача 3: Придумайте как можно более длинную цепочку различных слов (существительных, единственного числа, именительного падежа, не имен собственных) так, чтобы первые три буквы очередного слова совпадали с последними тремя буквами предыдущего, например корОЛЬ - ОЛЬха.

Задача 4: В прямоугольной таблице строк и столбцов больше 1. В ее клетках расставлены различные натуральные числа меньше 1000 так, что суммы во всех строках одинаковы, и произведения во всех столбцах тоже одинаковы (но произведения могут быть не равны суммам). Придумайте такую таблицу с как можно большим числом клеток.

Задача 5: Двое играют в крестики-нолики на бесконечной доске. Выигрывает тот, кто первым поставит не менее n своих знаков подряд по горизонтали или вертикали. Придумайте способ, как ноликам наверняка обеспечить ничью для как можно меньшего n.

Задача 6: Расставьте на шахматной доске как можно большее число ладей так, чтобы каждая била нечетное число других.

Задача 7: На клетчатой бумаге нарисован квадрат 8 × 8 со сторонами по линиям сетки. Найдите как можно больше равнобедренных треугольников с вершинами в узлах сетки на сторонах квадрата.

Задача 9: Все члены возрастающей арифметической прогрессии – натуральные числа. Если каждое число заменить его суммой цифр, снова получится возрастающая арифметическая прогрессия. Придумайте такую прогрессию с как можно большим числом членов.

Задача 10: В каждой клетке квадрата 8 × 8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Проведите диагонали так, чтобы этих частей было как можно больше.

Задача 11: Посредине доски 1 × 1001 стоит столбик из 80 положенных друг на друга монет. За один ход разрешается снять с верха любого столбика k монет (где k – любое число от 1 до всех) и переставить их на k полей влево или вправо; если там уже стоит столбик, положить монеты на него. Передвиньте все монеты столбика на соседнее справа поле затратив как можно меньше ходов.