Задача 1: (Теорема Бойяи-Гервина) Два многоугольника равносоставлены, если один из них можно перекроить в другой (то есть разрезать на части, переложив которые, можно получить другой). Всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены.

1. Если многоугольники P и Q равносоставлены и многоугольники Q и R равносоставлены, то многоугольники P и R – тоже равносоставлены.

2. Всякий треугольник можно перекроить а) в параллелограмм; б) в прямоугольник.

3. Пусть два равновеликих параллелограмма с равными основаниями ABCD и ABEF расположены так, что точки C, E, D, F лежат на одной прямой именно в указанном порядке. Тогда эти параллелограммы равносоставлены.

4. Два равновеликих параллелограмма с равными основаниями равносоставлены.

5. Если a больше какой-нибудь стороны прямоугольника, то прямоугольник можно перекроить в параллелограмм со стороной a.

6. Если a больше какой-нибудь стороны прямоугольника, то прямоугольник можно перекроить в прямоугольник со стороной a.

7. Любые два прямоугольника равносоставлены.

8. Любой треугольник можно перекроить в прямоугольник со стороной 1.

9. Фигуру, разбиваемую на треугольники, можно перекроить в прямоугольник со стороной 1.

10. Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Задача 2:

Фигуры называются равнодополняемыми, если их можно получить, отрезая от равных фигур одну или несколько равных частей.

Докажите, что равнодополняемые фигуры равновелики.

Задача 3: Докажите, что параллелограмм равнодополняем некоторому прямоугольнику.

Задача 4: Докажите, что равновеликие многоугольники равнодополняемы.

Задача 5: Придумайте какой-нибудь способ перекроить прямоугольник 3 × 1 в квадрат.

Задача 6: Перекроите прямоугольник 3 × 4 в квадрат, разрезав его всего на 3 части.

Задача 7: Перекроите прямоугольник 3 × 1 в квадрат, разрезав его не более чем на 6 частей.

Задача 8: Перекроите квадрат в правильный шестиугольник, разрезав его не более чем на а) 8 частей; б)* 5 частей.

Задача 9: Перекроите квадрат в 3 равных квадрата, разрезав его не более чем на а) 10 частей; б) 7 частей.

Задача 10: Перекроите квадрат в правильный треугольник, разрезав его не более, чем на а) 10 частей; б)* 5 частей.

Задача 11: Пусть a² + b² = c². Перекроите квадрат со стороной c в два квадрата со сторонами a и b, разрезав его не более, чем на 5 частей (число частей не должно зависеть от a и b).