Задача 1: Найдите последнюю цифру числа 1² + 2² +  …  + 99².

Задача 2: x, y, z – натуральные числа, причем x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.

Задача 3: Докажите, что a ≡ b (mod %)%m тогда и только тогда, когда a – b делится на m.

Задача 4: Действия с числами, сравниваемыми по модулю. Если a ≡ b (mod %)%m и c ≡ d (mod %)%m, то:

а) a + c ≡ b + d (mod %)%m; б) a – c ≡ b – d (mod %)%m; в) ac ≡ bd (mod %)%m.

Задача 5: Найдите остаток от деления 6²ººº на 7.

Задача 6: Докажите, что: а) 30⁹⁹ + 61¹ºº делится на 31; б) 43¹º¹ + 23¹º¹ делится на 66; в) aⁿ + bⁿ делится на a + b, если n – нечетное число.

Задача 7:

а) Докажите, что среди 501 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 1000.

б) Докажите, что различных остатков квадратов натуральных чисел при делении на n не более, чем [n/2] + 1.

Задача 8: Найдите остаток от деления на 7 числа 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº +  …  + 10¹ºººººººººº.

Задача 9: Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых 2ⁿ – n² делится на 7?

Задача 10: Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Задача 11: а) Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.

в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.

Задача 12: Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которого оканчивается на три цифры, оставляющие первоначальное число.

Задача 13: К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

Задача 14: Решить уравнение в целых числах: x² – 7y = 10.

Задача 15: Решить уравнение в целых числах: x³ – 21y² + 5 = 0.

Задача 16: Решить уравнение в целых числах: 15x² – 7y² = 9.

Задача 17: Решить уравнение в целых числах: x² + y² + z² = 8t – 1.

Задача 18: Решить уравнение в целых числах: 3^m + 7 = 2ⁿ.

Задача 19: Докажите, что произведение последней цифры числа 2ⁿ и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Задача 20: Можно ли из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) составить два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Задача 21:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

Задача 22: Докажите, что среди любых 18 подряд идущих трехзначных чисел найдется число, делящееся на свою сумму цифр.

Задача 23: В последовательности цифр каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы четырех предыдущих. Последовательность начинается с цифр 1234096Может ли в ней встретиться комбинация цифр 1999?

Задача 24: Шайка разбойников отобрала у купца мешок с монетами. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую монету не отложи, оставшиеся монеты можно поделить между разбойниками так, что каждый получит одинаковую сумму. Докажите, что число монет без одной делится на число разбойников в шайке

Задача 25: Существует ли число вида 111, которое делится на 1999?