Задача 1:

Двое играющих наперегонки едят яблоки. Вначале первый выбирает яблоко, затем второй – любое из оставшихся яблок, и они одновременно начинают есть. Они едят с одинаковой скоростью, и тот, кто доел, берет следующее яблоко. Кто из них сможет съесть больше и на сколько при любых действиях второго, если вначале есть а) 3 яблока весами 160 г, 140 г и 90 г б) 4 яблока весами 200 г, 150 г, 100 г и 80 г?

Задача 2: 20 спичек. Можно брать 2, 3, или 4 , но нельзя столько, сколько предыдущий. Кто не может сходить – проигрывает. Кто выигрывает?

Задача 3: 100 карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры противника?

Задача 4: От клетчатой доски m × n (m > 2, n > 2) осталась только рамка шириной 1. За один ход можно выпилить одну или несколько клеток, образующих прямоугольник, лишь бы при этом оставшая часть не распалась на два куска. Кто не может сделать хода – проигрывает. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?

Задача 5: В Черноморском казино Остап Бендер играет с крупье в фишки. Игра состоит в том, что игроки по очереди (крупье – первым, Остап – вторым) перекладывают фишки с черного поля стола на красное. За один ход можно переложить не меньше одной фишки и не больше, чем уже есть на красном поле. Побеждает тот, кто положил на красное поле последнюю фишку. До начала игры на красном поле лежат 10 фишек, а на черном – некоторое известное Остапу количество (но не ноль). У Остапа в кармане лежат 10 фишек, которые он может до начала игры незаметно подбросить: некоторые – на красное, а некоторые – на черное. Докажите, что он сможет выиграть.

Задача 6: Двое игроков по очереди выписывают натуральные числа. Первое число должно быть однозначным, каждое следующее – кратно предыдущему, больше него, но менее чем в 10 раз. Проигрывает тот, кто первым напишет число больше триллиона. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?