Задача 1: Два поселка расположены по разные стороны от реки с параллельными прямолинейными берегами. В каком месте на реке нужно построить мост (перпендикулярный берегам) так, чтобы путь из одного поселка в другой был кратчайшим?

Задача 2: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие – нет (они называются боковыми сторонами). Докажите, что сумма боковых сторон больше разности оснований.

Задача 3: a) По разные стороны от прямого шоссе расположены две деревни. В каком месте на шоссе нужно построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от деревень до остановки была наименьшей? Шириной шоссе пренебречь.

б) А где нужно строить автобусную остановку, если деревни расположены по одну сторону от шоссе?

Задача 4:

Серый Волк хочет оживить Ивана-Царевича. Как ему добраться до Ивана кратчайшим путем, набрав по дороге мертвой и живой воды (см. рис.)?

Задача 5:

Точка M лежит внутри острого угла AOB. Найдите на сторонах угла такие точки N и P, что треугольник MNP имеет наименьший возможный периметр.

Задача 6: Докажите, что если отрезок, соединяющий середины сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то две эти другие стороны параллельны.

Задача 7: Среди всех треугольников с данными сторонами AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь.

Задача 8: На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

Задача 9:

Петя хочет пройти к киоску на другом углу перекрестка (см. рис.). Каждую дорогу (полосу с параллельными краями) он должен пересечь под прямым углом. Постройте для него кратчайший путь.

Задача 11:

Внутри угла лежат две точки A и D. Соедините их ломаной ABCD наименьшей длины с точками B и C на разных сторонах угла.

Задача 12:

На плоскости дано n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.