Задача 1: Найдите геометрическое место точек (ГМТ), для которых расстояние до данной точки меньше (больше) заданного.

Задача 2: Найдите ГМТ, для которых расстояние до данной прямой меньше (больше) заданного.

Задача 3: Даны точки A и B. Найдите ГМТ M таких, что

а) расстояние до точки A больше (меньше), чем до B;

б) AM + MB = AB;

в) AM < AB и BM ≥ AB;

г) точки A, B и M являются вершинами равнобедренного треугольника.

Задача 4: Пусть A, B и C – точки, не лежащие на одной прямой. Найдите ГМТ M таких, что:

а) прямая CM пересекает отрезок AB;

б) луч CM пересекает отрезок AB;

в) отрезок CM пересекает отрезок AB;

Задача 5: Даны две параллельные прямые. Найдите ГМТ, для которых расстояние до первой вдвое больше, чем до второй.

Задача 6: Найдите ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Задача 7: На плоскости изображена окружность радиуса 2000. Найдите ГМТ M, для каждой из которых расстояние до ближайшей к M точки окружности равно 1.

Задача 8: Найдите ГМТ, равноудаленных от

а) сторон данного треугольника;

б) трех данных прямых;

в) трех данных точек.

Задача 9: Пусть A, B и C – точки, не лежащие на одной прямой. Найдите ГМТ M таких, что ближайшей к M точкой среди точек A, B и C является A.

Задача 10: Найдите геометрическое место центров всевозможных окружностей, проходящих через две данные точки A и B.

Задача 11: Даны точки A и B. Найдите ГМТ M таких, что

а)  ∠ BAM – наименьший угол треугольника ABM;

б)  ∠ AMB – средний по величине угол треугольника ABM;

в)  ∠ ABM – наибольший угол треугольника ABM.

Задача 12: Найдите геометрическое место центров всевозможных окружностей, которые пересекают данный отрезок ровно в двух точках.

Задача 13: Даны горизонтальная прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Найдите ГМТ M таких, что прямая AM пересекает прямую l левее, чем прямая BM.

Задача 14: ГМТ середин отрезков длины R с концами на двух данных перпендикулярных прямых (один конец на первой, другой – на второй прямой).

Задача 15: Найти геометрическое место четвертых вершин квадратов таких, что остальные три вершины лежат на двух данных перпендикулярных прямых.

Задача 16:

Если в треугольнике отметить точку P и соединить ее с вершинами, то треугольник разобьется на три меньших треугольника. Найдите ГМТ Р, для которых сумма площадей двух из этих треугольников будет равна площади третьего.