Задача 1: В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора) . Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?

Задача 2: В трех вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается двигать их по диагонали на свободное место. Можно ли такими действиями добиться, чтобы одна из фишек вернулась на первоначальное место, а две другие поменялись местами?

Задача 3: Из доски 4 × 4 вырезаны все угловые клетки. Может ли шахматный конь обойти всю доску и вернуться на исходную клетку, побывав в каждой клетке ровно один раз?

Задача 4: Петр, пробираясь огородами до Никиты, сделал себе москитную сетку, в которой ровно 100 узелков, и любые два узелка соединены ниточкой. Сколько ниточек потратил Петр на это бесполезное занятие?

Задача 5: В городе проводилось совещание врачей. От каждой поликлиники на совещание было приглашено по пять врачей. Оказалось, что каждый из приглашенных работал в двух поликлиниках, поэтому на совещании представлял обе поликлиники. Кроме того, для любых двух поликлиник города среди участников совещания найдется врач, который в них работает. Сколько в городе поликлиник и сколько врачей принимало участие в совещании?

Задача 6: В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль.

Задача 7: Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен «убыток», если метр шланга стоит 12 рублей?

Задача 8: В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать?

Задача 9: Докажите, что число людей, когда-либо живших на земле и сделавших нечетное число рукопожатий – четно!

Задача 10: В верхних углах доски 3 × 3 стоят черные кони, а в нижних – белые. Как разместить коней одного цвета в противоположных клетках доски и сколько ходов для этого необходимо?

Задача 11: Можно ли на окружности расположить числа 0, 1, 2, , 9 так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?

Задача 12: Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Задача 13: Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Задача 14: В графе каждая вершина покрашена в синий или зеленый цвет. При этом каждая синяя вершина связана с пятью синими и десятью зелеными, а каждая зеленая с девятью синими и шестью зелеными. Каких вершин больше – синих или зеленых?

Задача 15: На листе бумаги отмечена 2001 точка. Двое играют в следующую игру: каждый своим ходом соединяет две отмеченные точки линией. Запрещается соединять пару точек повторно. Проигрывает тот, после хода которого из любой точки можно пройти в любую другую, двигаясь от вершины к вершине по проведенным линиям. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 16: Докажите, что среди девяти человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых.

Задача 17: На плоскости отметили 5 точек. Можно ли соединить их непересекающимися линиями так, чтобы любые две точки были соединены ровно одной линией?

Задача 18:

На окружности отмечены 7 красных и 5 синих точек. Каких треугольников с вершинами в этих точках больше: одноцветных или разноцветных? На сколько?

Задача 19:

В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с четырьмя мальчиками. Докажите, что число школьников в классе делится на 7.

Задача 20:

15 команд играют турнир в один круг. Докажите, что в некотором матче встретятся команды, сыгравшие перед этим в сумме нечетное число матчей.

Задача 21: Можно ли подобрать компанию, где у каждого ее члена было бы пять друзей, а у любых двух – ровно два общих друга?