Задача 1: Докажите, что из простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.

Задача 2: К окружности провели две касательные, касающиеся ее в точках A и B и пересекающие друг друга в точке C. Доказать, что центр вписанной в треугольник ABC окружности лежит на дуге AB.

Задача 3: Трое велосипедистов ездят с различными постоянными скоростями по круглому велотреку. У них есть фляжка, которая обязательно передается от одного к другому при встрече или обгоне (ситуаций, когда все трое оказываются одновременно в одном месте, не случается). Может ли оказаться, что как бы долго они не ездили, к одному из них фляжка так и не попадет?

Задача 4: На какое количество нулей может оканчиваться число вида 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ при натуральных n? (Найдите все возможные ответы)

Задача 5: На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что AD = CE, и в треугольнике ADE проведена медиана AM. Докажите, что BE = 2AM.

Задача 6: Брат-старшеклассник спросил сестренку-младшеклассницу: «Сколько дней тебе было ровно втрое меньше полных лет, чем мне?»

– 3 дня, – ответила сестренка.

– А ровно в 4 раза?

– 4 дня.

– А ровно в 6 раз?

Тут сестренка задумалась. Она помнила, что такие дни были, но вот сколько…Помогите ей найти ответ.

Задача 7:

С двух сторон дороги посадили два ряда по 7777 деревьев. На каждое дерево прибили табличку, в которой указано, сколько дубов в тройке деревьев: самого этого дерева и его соседей слева и справа (у крайних деревьев — в паре из самого дерева и его единственного соседа). Странник, идущий по дороге, увидел справа и слева одинаковые последовательности чисел. Докажите, что в обоих рядах дубы растут на одних и тех же местах.

Задача 8: В противоположных углах клетчатой доске 7 × 8 ставятся черная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть – пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?