Задача 1: На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.

Задача 2:

В лагерь привезли 12 мячей. Все мячи раздали по отрядам (6 отрядов) . Можно ли при этом утверждать, что кому-то досталось не менее трех мячей? А если учесть, что в одном отряде только один мяч?

Задача 3: В таблице 3 × 3 записаны числа  – 1, 0, 1. Может ли оказаться, что суммы чисел по всем строкам, столбцам и главным диагоналям различны?

Задача 4: На соседних сторонах квадрата ABCD во внешнюю сторону построены правильные треугольники LCB и KCD. Доказать, что треугольник KLA правильный.

Задача 5: Индеец Джо в гневе плюнул 150 раз в квадратную мишень 7 × 7, и треть плевков достигла цели. Докажите, что расстояние между какими-нибудь двумя из его плевков не превосходит 1,5.

Задача 6: Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идет в два раза быстрее знакомого и в пять раз медленнее трамвая?

Задача 7: В противоположных концах клетчатой полоски 1 × 100 стоит по фишке. Двое играют в следующую игру. За один ход можно сдвинуть одну из фишек на 1, 2, 3 или 4 клетки в сторону второй фишки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?

Задача 8: Сколькими способами можно составить треугольник, длины сторон которого – целые числа, большие 10 и не превосходящие 20?

Задача 9: Для отправки в ЛМШ бумагу для ксерокса упаковали в ящики массой не более 300 кг каждый. Общая масса бумаги 13,5 тонн. Какого минимального количества «Газелей» заведомо хватит для перевозки бумаги в «Вишкиль», если грузоподъемность одной «Газели» 1,5 т.

Задача 10: Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых – двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.

Задача 11: Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону. Когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист был в 6 км от них. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько велосипедист был впереди пешехода в момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

Задача 12: Сколько способов шашке a1 пройти в дамки?

Задача 13: Двое по очереди разламывают шоколадку размера 50 × 51. Проигрывает тот, после хода которого образовался кусочек размера 1 × 1. Кто выигрывает при правильной игре?