Задача 1: У составного числа a найдется такой простой делитель p, что p² ≤ a.

Задача 2: Как проверить, что числа 1997 и 1999 – простые?

Задача 3: Найдите  НОД (99! + 100!,101!).

Задача 4: Докажите, что простых чисел бесконечно много.

Задача 5: а) Найдутся ли 3 натуральных числа таких, что ни одно из них не делится на другое, а произведение любых двух из них делится на третье? б) Тот же вопрос про 10 чисел?

Задача 6: Докажите, что .

Задача 7: Каким может при натуральных n быть НОД чисел а) 2n – 17 и n – 8; б) 13n + 8 и 8n + 5?

Задача 8: Докажите, что если a = bq + r, то  НОД (a,b) =  НОД (b,r).

Задача 9: Найдите а)  НОД (1998,8991); б)  НОД (7387,82861).

Задача 10: Найдите а) ; б)  НОД (2¹ºº – 1,2¹²º – 1); в)  НОД (2^m – 1,2ⁿ – 1).

Задача 11: На прямой сидит блоха, и прыгает всякий раз либо на 15 сантиметров вправо, либо на 21 сантиметр влево. В каких точках прямой может побывать эта блоха?

Задача 12: В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?

Задача 13: Докажите, что

Задача 14: При каких n можно найти n натуральных чисел, сумма которых равна их НОК?

Задача 15: Докажите, что в вершинах любого многогранника можно расставить натуральные числа так, чтобы числа в вершинах связанных ребром имели общий делитель больше 1, а не связанные ребром не имели.

Задача 16: Докажите основную теорему арифметики (ОТА):

1. Если r – остаток от деления a на b, то  НОД (a,b) =  НОД (b,r).

2. Если d =  НОД (a,b), то найдутся такие целые m и n, что d = ma + nb.

3. Если a не делится на простое число p, то найдутся целые m и n, что 1 = ma + np.

4. Если , где p – простое, то либо .

5. (ОТА) Разложение натурального числа в произведение простых сомножителей единственно с точностью до порядка сомножителей.

Задача 17: Числа a, b, c – целые. Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда .