Задача 1: а) Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50? б) Тот же вопрос для чисел от 1 до 100?

Задача 2: В противоположных углах квадратного пруда со стороной 10 м сидели два гуся. Поплавав по пруду, они оказались в двух других противоположных углах. Докажите, что в некоторый момент расстояние между кончиками их клювов было ровно 12 м.

Задача 3: а) Найдутся ли два последовательных шестизначных номера, сумма цифр каждого из которых делится на 11? б) Найдите наименьшую пару последовательных натуральных чисел, чтобы сумма цифр каждого делилась на 11.

Задача 4: Легко распилить кубик 3 × 3 × 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если части разрешается перекладывать и пилить по несколько частей сразу?

Задача 5: Где-то на поле 10 × 10 для игры в «Морской бой» стоит корабль 1 × 4. За какое наименьшее число выстрелов можно в него наверняка попасть?

Задача 6: Выпуклый n-угольник разрезан диагоналями на части. Докажите, что в каждой части не более n сторон.

Задача 7: Можно ли разрезать квадрат на равнобедренные треугольники с углом 40 при основании?

Задача 8: Можно ли разрезать квадрат на прямоугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) не менее чем с шестью другими?

Задача 9: Шахматную доску 9 × 9 раскрасили в шахматном порядке, после чего выпилили из нее все угловые клетки и все примыкающие к краю клетки того же цвета. На какое наименьшее число прямоугольников можно разрезать оставшуюся фигуру, если разрешается резать а) только по границам клеток; б) как угодно?

Задача 10: Можно ли разрезать квадрат на равнобедренные треугольники с углом 75 при основании?

Задача 11: Пьяный шахматный король не в состоянии сделать два шага подряд в одном направлении. Он таки умудрился обойти доску 5 × 5, побывав на каждой клетке ровно по одному разу и вернувшись в исходную клетку. а) Как это ему удалось? б) Докажите, что его путь (т.е. ломаная, содержащая центры клеток) – самопересекающийся.

Задача 12: Многоугольник можно разрезать на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разрезать на 100 треугольников.

Задача 13: Фанерный многоугольник разбит линиями разметки на прямоугольники. Пила может делать только прямые разрезы от края исходного многоугольника или отпавшей части. Докажите, что многоугольник можно пропилить по всем линиям разметки.

Задача 14: Прямоугольник разрезан на прямоугольные треугольники, которые граничат только целыми сторонами катет к гипотенузе. Докажите, что отношение длинной стороны прямоугольника к короткой не менее 2.