Задача 1: Точки A и B лежат на окружности с центром O. Точка C расположена на окружности так, что:

а) AC – диаметр. Докажите, что  ∠ AOB = 2 ∠ ACB.

б) точка O внутри  ∠ ACB. Докажите, что  ∠ AOB = 2 ∠ ACB.

с) точка O снаружи  ∠ ACB. Докажите, что  ∠ AOB = 2 ∠ ACB.

Задача 2: AB – хорда окружности. Точки C и D расположены на окружности в одной полуплоскости относительно AB. Докажите, что  ∠ ACB =  ∠ ADB.

Задача 3: Две окружности пересекаются в точках A и B. К точке B проведены диаметры в обеих окружностях BC и BD. Докажите, что точки C, A, D лежат на одной прямой.

Задача 4: Угол ABC вписан в окружность. Докажите, что биссектриса этого угла делит дугу AC пополам.

Задача 5: Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что  ∠ ABC = 72,  ∠ BCD = 102,  ∠ AMD = 110. Найдите  ∠ ACD.

Задача 6: На окружности отмечены точки: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇. Эти точки соединены так, как показано на рисунках. Чему равны суммы отмеченных семи углов в каждом случае?

Задача 7: Найдите ГМТ, из которых отрезок AB виден под данным углом  α . (Рассмотрите случаи, когда  α  ≤ 90;  α  > 90.)

Задача 8: Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, опущенной на данную сторону.

Задача 9: Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Произвольная прямая, проходящая через A, вторично пересекает одну окружность в точке B, а другую – в точке C. Докажите, что центральные углы этих окружностей, соответствующие хордам AB и AC, равны.

Задача 10: а) На окружности строится последовательность точек: первая точка берется произвольно, а начиная со второй каждая следующая удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Докажите, что седьмая точка совпадает с первой.

б) На плоскости даны две точки A и B. Только с помощью циркуля постройте две точки, расстояние между которыми равно 2AB.

Задача 11: Постройте треугольник по стороне, противоположному углу и медиане, проведенной к данной стороне.