Задача 1: Верно ли, что  – 17 ≡ 11 (mod 7)?

Задача 2: Какой остаток при делении на 10 дает число a, если ?

Задача 3: Найдите последнюю цифру числа 3⁹⁹⁹.

Задача 4: Докажите, что aⁿ – bⁿ делится на a – b при любом натуральном n.

Задача 5: Докажите, что если n – нечётное число и a + b ≠ 0, то aⁿ + bⁿ делится на a + b.

Задача 6: Докажите, что при любом натуральном n число делится на 2ⁿ – 3.

Задача 7: Докажите, что при нечётных n и m число делится на m.

Задача 8: Докажите, что а) при любом натуральном n 12^2n + 1 + 11^n + 2 делится на 133;

б) при любых натуральных a и n число a^2n + 1 + (a – 1)^n + 2 делится на a² – a + 1.

Задача 9: Докажите, что 11¹ºº – 1 делится на 100.

Задача 10: Докажите, что .

Задача 11: Докажите, что для любого натурального n

а) либо , либо ;

б) либо , либо ;

в) либо , либо ;

г) либо , либо ;

д) либо , либо .

Задача 12: Докажите, что .

Задача 13: Докажите, что уравнение 15x² – 7y² = 9 не имеет решений в целых числах.

Указание: Рассмотрите остатки при делении на 5.

Задача 14: Докажите, что уравнение x² – 7y = 10 не имеет решений в целых числах.

Решение: Рассмотрите остатки при делении на 7.

Задача 15: Решите в целых числах уравнение x² + y² + z² = 8t – 1.

Решение: Рассмотрев остатки при делении на 8, видим, что уравнение решений не имеет.

Задача 16: Докажите, что числа вида 10^3n + 1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Решение: Рассмотрите остатки при делении на 7.

Задача 17: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы двух точных квадратов.

Решение: Это числа вида n = 4k + 3.

Задача 18: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трёх точных кубов.

Решение: Это числа вида n = 9k + 4 и n = 9k + 5.