Задача 1: Завершите доказательство пунктов ** и *** в примере 3.

Задача 2: Найдите

а) ГМТ, равноудалённых от точек A и B.

Решение: плоскость вне полосы.

Задача 3: Найдите

а) ГМТ, лежащих внутри угла AOB, для которых расстояние до прямой OA меньше расстояния до прямой OB.

Решение: объединение биссектрис образующихся углов.

Задача 4: Даны две параллельные прямые. Найдите

а) ГМТ, равноудалённых от этих прямых.

Решение: Указание: это объединение двух прямых;

Задача 5: Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до двух данных прямых равна данной величине x.

Задача 6: Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Решение: Прямая, параллельная данным прямым и равноудалённая от них.

Задача 7: Даны точки A и B. Найдите ГМТ M таких, что

а) MA ≠ MB;

б) AM < AB и BM ≥ AB;

в)  ∠ BAM – наименьший угол треугольника ABM;

г)  ∠ AMB – средний по величине угол треугольника ABM;

д)  ∠ ABM – наибольший угол треугольника ABM.

Решение: а) плоскость без серединного перпендикуляра к AB;

б) часть открытого круга (B,AB), лежащая не внутри окружности (A,AB) («полумесяц»);

в) пересечение полуплоскости из а) и круга с центром B и радиусом BA.

Задача 8: Пусть A, B и C – точки, не лежащие на одной прямой. Найдите ГМТ M таких, что:

а) прямая CM пересекает отрезок AB;

б) луч CM пересекает отрезок AB;

в) отрезок CM пересекает отрезок AB.

Решение: а) внутренность угла ACB и угла, вертикального у нему; б) внутренность угла ACB; в) часть внутренности угла ACB, лежащая с другой стороны от точки C относительно отрезка AB.