Задача 1: Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Зем-ля–Мер-ку-рий, Плу-тон–Ве-не-ра, Зем-ля–Плу-тон, Плу-тон–Мер-ку-рий, Мер-ку-рий–Ве-не-ра, Уран–Неп-тун, Неп-тун–Са-турн, Са-турн–Юпи-тер, Юпи-тер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Зем-ли до Марса?

Решение: Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – непересекающиеся между собой линии. Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Задача 2: В трёх вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается двигать их по диагонали на свободное место. Можно ли такими действиями добиться, чтобы одна из фишек вернулась на первоначальное место, а две другие поменялись местами?

Задача 3: В углах доски 3 × 3 стоят четыре коня. Два белых с одной стороны и два черных – с другой. Ходы происходят по шахматным правилам. Могут ли через несколько ходов белые кони встать в углах одной диагонали, а черные кони – в углах другой?

Задача 4: Людоед захватил маленькую принцессу. Он нарисовал на земле k квадратов в ряд. Людоед обещал отпустить принцессу, если она сможет пропрыгать по всем квадратам по разу и снова вернуться на первый, при этом прыгать с любого квадратика на соседний нельзя, можно прыгать только через один или через два квадратика (например, с 5 можно прыгнуть только на 2,3,7 или 8). Если принцесса не выполнит задание, людоед её съест. Как принцессе спастись при а) k = 5; б) k = 10.

Задача 5: Можно ли на окружности расположить числа от 1 до 10 так, чтобы соседние числа отличались на 2 или на 3?

Задача 6: Муравей забрался в банку из-под сахара, имеющую форму куба. Сможет ли он последовательно обойти все рёбра куба, не проходя дважды по одному ребру?