|
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2001 г, 7 класс >> Формула Пика | Убрать решения |
|
Разное. Материалы Кировской ЛМШ, 2001 г, 7 класс. Формула Пика |
|
Задача 1: Найдите площади многоугольников, изображённых на рисунке
Задача 2: Нарисуйте треугольник площади ½, у которого все стороны больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.
Решение: Поскольку в формуле Пика для этого треугольника n ≥ 3 (вершины лежат в узлах сетки), внутри треуголька и на сторонах (кроме вершин) целых точек нет. Например, годится треугольник, вершины которого находятся в точках (0,0), (6,1), (5,2).
Задача 3: Можно ли квадрат 50 × 50 разбить на 15 одинаковых многоугольников с вершинами в узлах сетки?
Решение:
Нет. По формуле Пика площадь образовавшихся частей должна быть целой или
полуцелой,
а она равна .
Задача 4: Замкнутая несамопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 7 × 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной.
Решение:
Поскольку ломаная проходит через все узлы, внутри узлов нет.
Поскольку на границе лежит 64 точки, то площадь фигуры,
ограниченной ломаной .
Задача 5: Пусть A и B два узла клетчатой бумаги, из которых, второй на p клеток правее и на q клеток выше первого. Чему равно расстояние от прямой AB до ближайшего к ней узла, не лежащего на этой прямой?
Решение:
Пусть C – ближайшая к AB точка.
На отрезке AB лежит НОД (p,q) + 1 точек (считая концы). Внутри
треугольника ABC и на сторонах AC и BC точек нет (так как если бы
такая точка нашлась, то она была бы ближе к прямой AB, чем C).
Не забыв про точку C, видим, что по формуле Пика площадь
треугольника ABC равна .
Поскольку
, высота треугольника ABC вычисляется
по формуле
.
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2001 г, 7 класс >> Формула Пика | Убрать решения |