Задача 1: Найдите площади многоугольников, изображённых на рисунке

Задача 2: Нарисуйте треугольник площади ½, у которого все стороны больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.

Решение: Поскольку в формуле Пика для этого треугольника n ≥ 3 (вершины лежат в узлах сетки), внутри треуголька и на сторонах (кроме вершин) целых точек нет. Например, годится треугольник, вершины которого находятся в точках (0,0), (6,1), (5,2).

Задача 3: Можно ли квадрат 50 × 50 разбить на 15 одинаковых многоугольников с вершинами в узлах сетки?

Решение: Нет. По формуле Пика площадь образовавшихся частей должна быть целой или полуцелой, а она равна .

Задача 4: Замкнутая несамопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 7 × 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной.

Решение: Поскольку ломаная проходит через все узлы, внутри узлов нет. Поскольку на границе лежит 64 точки, то площадь фигуры, ограниченной ломаной .

Задача 5: Пусть A и B два узла клетчатой бумаги, из которых, второй на p клеток правее и на q клеток выше первого. Чему равно расстояние от прямой AB до ближайшего к ней узла, не лежащего на этой прямой?

Решение: Пусть C – ближайшая к AB точка. На отрезке AB лежит  НОД (p,q) + 1 точек (считая концы). Внутри треугольника ABC и на сторонах AC и BC точек нет (так как если бы такая точка нашлась, то она была бы ближе к прямой AB, чем C). Не забыв про точку C, видим, что по формуле Пика площадь треугольника ABC равна . Поскольку , высота треугольника ABC вычисляется по формуле .