Задача 1: Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Задача 2: Докажите, что площадь остроугольного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задача 3: Докажите, что площадь тупоугольного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задача 4: Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Задача 5: Докажите, что площадь трапеции равна половине произведения суммы двух оснований на высоту.

Задача 6: а) Докажите, что медиана делит треугольник на две равновеликие части.

б) Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что .

Задача 7: Пусть точка P лежит на медиане AD треугольника ABC. Докажите, что S_BAP = S_CAP.

Задача 8: а) Точку пересечения медиан треугольника соединили со всеми вершинами. Докажите, что площади получившихся треугольников равны.

Задача 9: В четырёхугольнике ABCD площади треугольников DBC и ADC равны. Докажите, что AB\|CD.

Задача 10: Диагонали делят трапецию на 4 треугольника. Докажите, что площади двух треугольников, прилегающих к боковым сторонам равны.

Задача 11: В параллелограмме ABCD выбрана точка P. Докажите, что S_ABP + S_CPD = S_BCP + S_DPA.

Задача 12: Дан выпуклый четырёхугольник, диагональ AC которого делит среднюю линию MN (M — середина BC, а N — AD) пополам. Докажите, что треугольники ABC и ACD — равновелики.

Задача 13: (Теорема Вариньона) а) Докажите, что фигура, образованная серединами сторон произвольного четырёхугольника — параллелограмм. б) Докажите, что площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.

Задача 14: Из точки внутри равностороннего треугольника опускаются перпендикуляры на стороны. Докажите, что сумма их длин не зависит от выбора точки.

Задача 15: Средние линии четырёхугольника разделяют его на четыре четырёхугольника. Докажите, что суммы площадей несмежных четырёхугольников равны.

Задача 16: Докажите, что если одна из средних линий четырёхугольника делит его площадь пополам, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.