Задача 1: Верно ли, что среди трёх чисел либо найдётся число, кратное 5, либо найдутся 2 числа, чья сумма делится на 5, либо найдутся 2 числа, чья разность делится на 5.

Задача 2: Перед началом урока учитель написал на доске какое-то целое число от 1 до 100. После этого дети по очереди сказали следующее:

1-й: «Это число больше 1.»

2-й: «Это число больше 2.»

…99-й: «Это число больше 99.»

100-й: «Это число больше 100.»

101-й: «Это число меньше 100.»

…200-й: «Это число меньше 1.»

Сколько раз ребята сказали правду? Найдите все варианты и покажите, что других нет.

Решение: 99

Задача 3: У продавца есть много гирек весом 37 г, 66 г, 99 г. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах отвесить 1 кг 69 г товара (класть гирьки на чашу с товаром запрещается, других гирек у продавца нет)?

Решение: Нет, нельзя

Задача 4: Cуществует ли треугольник, который можно разрезать

а) на три равных треугольника;

б) на четыре равных треугольника;

в) на пять равных треугольников?

Задача 5: Юра, Владик и Марина Юрьевна решили сыграть в следующую игру. В кучке лежит 2001 спичка. Юра и Владик имеют право брать 1 или 2 спички, а их мама Марина Юрьевна – 1, 2 или 3. При этом Владик и Юра объединяют свои усилия против мамы, а она имеет право выбрать очередь своего хода – первый, второй или третий. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Может ли Марина Юрьевна выбрать себе такую очередь, что при правильной игре выиграет именно она?

Решение: Да. Она берет 1 спичку, а дальше каждый раз ходит так, чтобы оставить количество спичек, кратное 5.

Задача 6: В ЛМШ живут 5 отрядов математиков (с 6 по 10 класс), а также отряд физиков и отряд биологов. Каждый отряд живет в своем домике. От домиков, в которых живут школьники каждого из отрядов, проложены дорожки к домикам не менее чем четырёх других отрядов, а от домика математиков 7 класса идет не менее 5 таких дорожек. Докажите, что существует путь, проходящий (по дорожкам) через все отрядные домики, причем ровно по одному разу.