Задача 1: Можно ли расставить на клетчатой доске 16 × 16 полный комплект для игры в «морской бой» (1 кораблик 1 × 4, 2 кораблика 1 × 3, 3 кораблика 1 × 2 и 4 кораблика 1 × 1) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

Решение: Нет: они занимают в сумме не более 30 линий (строк и столбцов).

Задача 2: Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали грибы. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика грибов либо вдвое больше, либо впятеро меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 грибов?

Решение: Количество орехов в паре делится на 3

Задача 3: Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 и квадраты со стороной 2. Докажите, что число треугольников чётно.

Задача 4: Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

Задача 5: На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки C₁ и B₁ так, что  ∠ ABB₁ = 5  ,  ∠ ACC₁ = 10  . Найдите углы треугольника AB₁C₁, если  ∠ ABC = 60  ,  ∠ ACB = 70  .

Задача 6: Через клетчатый квадрат 1000 × 1000 проведены по линиям сетки несколько прямых. Образовавшиеся при этом прямоугольные части раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Докажите, что количество чёрных клеточек чётно.

Решение: В любом квадрате 2 × 2 либо все клетки одного цвета, либо чёрных и белых клеток поровну, а значит, чёрных клеток – чётное число.

Задача 7: В Зильбермании 2001 житель. Пятеро из них – математики, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Вонабур попросил каждого жителя назвать четверых человек, которые, по его мнению, являются математиками. Каждый математик назвал четверых других математиков, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, м-р Вонабур может выбрать себе проводника, не являющегося математиком.

Решение: Рассмотрим все пятерки жителей, в которых каждый указывает на других. Хотя бы один человек не входит ни в одну из таких пятёрок. Следовательно, он не математик.

Задача 8: На трёх полках стоит в беспорядке многотомная энциклопедия «Всё о насекомых». Самым левым на верхней полке стоит том «Комары». Каждое утро библиотекарь меняет местами два тома с соседними номерами, стоящие на разных полках. В один прекрасный день все тома вернулись на свои полки. Докажите, что «Комары» по-прежнему стоят слева на верхней полке.

Задача 9: На доске написано число 35. Веня и Вова играют в такую игру: за один ход разрешается увеличить написанное на доске число на любой из его делителей, отличный от самого числа (при этом предыдущее число с доски стирается). Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 35! – 1. Первым ходит Вова. Докажите, что у Вени есть выигрышная стратегия.

Решение: Вова может записать вместо 35 либо 36 = 35 + 1, либо 40 = 35 + 5, либо 42 = 35 + 7. В ответ Веня применяет передачу хода: если «ход» из числа p – 1 в число p + 1 (p = 37, 41 или 43) ведет к выигрышу, то он делает этот ход; в противном случае Веня делает ход в число p и заставляет Вову самого сделать ход в p + 1 (т.к. p – простое число).