Задача 1: Найдите все x, для которых (77 – 6^x)(x² + x – 3) = 2001

Задача 2: Найдите все натуральные n, при которых (2n² + 3n + 9)! делится на (3n² – 4n – 9)!

Задача 3: Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 7, 11, 13 или 16 бусинок, причем всегда в вершинах оказываются бусинки разных цветов. Найдите наименьшее возможное число различных по цвету бусинок.

Задача 4: Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Докажите, что для любого натурального n существует число, которое является репдиджитом не менее, чем в n различных системах счисления.

Задача 5: Внутри выпуклого многогранника произвольно выбрана точка. Докажите, что она лежит хотя бы в одном из шаров, построенных, как на диаметрах, на ребрах и диагоналях этого многогранника.

Задача 6: Дан многочлен F(u,v) = P(u)Q(v) – P(v)Q(u), где P(x) и Q(x) – не пропорциональные друг другу многочлены 2001-ой степени, в составе каждого из которых только по пять ненулевых слагаемых. Какое наименьшее число ненулевых коэффициентов может иметь многочлен F(u,v) после раскрытия скобок и приведения подобных членов?