Задача 1:

Найдите количество шестерок множеств A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆ (не обязательно различных), элементами которых являются натуральные числа от 1 до n таких, что любое число от 1 до n, принадлежащее хотя бы одному из множеств, содержится либо ровно в трех из них, либо во всех шести.

Задача 2:

Найдите наибольшее вещественное C₁ и наименьшее C₂ такие, что для любых положительных чисел a,b,c,d,e выполняется неравенство

Задача 3:

Найдите все наборы из n функций (f₁,f₂, … ,f_n), таких, что для любых вещественных x,y:

Задача 4:

Через точку P внутри треугольника ABC провели прямые k,l,m. Прямая k пересекает сторны AB и AC в точках A₁,A₂, прямая l пересекает BC и BA в точках B₁,B₂, а прямая k пересекает CB и CA в точках C₁,C₂. Притом PA₁ = PA₂, PB₁ = PB₂, PC₁ = PC₂. Докажите, что последними тремя равенствами прямые k, l и m задаются однозначно. Докажите, что существует единственная точка P, для которой треугольники AA₁A₂, BB₁B₂ и CC₁C₂ равновелики, и найдите ее.

Задача 5:

Целочисленная последовательность a_n удовлетворяет рекуррентному соотношению . Докажите, что среди членов последовательности не более одного точного квадрата.

Решение:

Кубы натуральных чисел могут быть сравнимы с 0,1, – 1 по модулю 7. Тогда, a_n + 1 сравнимо с 4,5 или 3. Поскольку квадраты натуральных чисел сравнимы с 0,1,2,4 по модулю 7, в последовательности a_n квадрат может появиться только после числа делящегося на 7. Очевидно, что таким числом может быть только a₁. Осталось проверить, что a₀ и a₁ не могут быть одновременно квадратами натуральных чисел. Если a₁ = m² = n⁶ + 1999, то m² – n⁶ = 1999, откуда (m – n³)(m + n³) = 1999. Поскольку 1999 – простое число m,n³ = 999,1000, чего быть не может.

Задача 6:

Решите систему уравнений в неотрицательных вещественных числах:

Задача 7:

Решите уравнение x^x + y = y^y – x в натуральных числах.

Решение:

Пусть простое число p входит в разложение x на простые множители в степени m, а в разложение y – в степени n. Тогда m(x + y) = n(y – x) и n ≥ m. Следовательно y делится на x. Пусть y = kx. Тогда x^(k + 1)x = k^(k – 1)xx^(k – 1)x. Перепишем уравнение в следующем виде:

откуда x² = k^k – 1. Далее возможны два случая: либо k нечетно, либо – точный квадрат. В первом случае положим k = 2s + 1, тогда x = (2s + 1)^s, y = (2s + 1)^s + 1. Во втором случае k = 4t², , .

Задача 8:

По одну сторону прямой l взяли точки P и Q. Точки M и N – проекции точек P и Q на прямую l. Точка S лежит между прямыми PM и QN, притом PM = PS и QN = QS. R – точка пересечения серединных перпендикуляров отрезков SM и SN. Прямая RS вторично пересекает окружность, описанную около треугольника PQR в точке T. Докажите, что S – середина отрезка RT.

Задача 9:

Раскраска узлов целочисленной решетки и отрезков с концами в узлах называется правильной, если

1. каждый покрашенный отрезок параллелен либо одной из координатных осей, либо одной из прямых y = x, y =  – x;
2. каждый покрашенный отрезок содержит ровно 5 покрашенных точек;
3. любые два отрезка имеют не более одной общей точки.

К правильной раскраске разрешается добавить еще одну точку и один отрезок так, чтобы получилась правильная раскраска. Существует ли такая раскраска, для которой такой процесс может продолжаться бесконечно долго?